Verifique se o subconjunto S é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.):
S=1, sen^2 x, cos ^2 x, V=C^infty(R, R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,1,;sin^2 x,;cos^2 x
é linearmente independente ou dependente em V = C^infty(R,R).
Precisamos lembrar que S é linearmente dependente se existe uma combinação
acdot 1 ;+; b,sin^2 x ;+; c,cos^2 x ;=;0
para todos x, com (a,b,c)neq(0,0,0).

Passo 2

Escrevemos a condição de dependência como
a + b,sin^2 x + c,cos^2 x = 0
que deve valer para todo xinR. Nosso objetivo é encontrar coeficientes não todos nulos que satisfaçam essa igualdade identicamente.

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica fundamental
sin^2 x + cos^2 x = 1
Substituindo na combinação, vemos que
b,sin^2 x + c,cos^2 x = b,sin^2 x + c,(1-sin^2 x) = c + (b-c),sin^2 x
Então a equação geral fica
a + c + (b-c),sin^2 x = 0
para todo x. Para isso acontecer, devemos ter
a + c = 0, b - c = 0

Passo 4

Escolhendo por exemplo b=1 e c=1 impele a=-c=-1. Assim
-1 + 1cdotsin^2 x + 1cdotcos^2 x = -1 + (sin^2 x + cos^2 x) = -1 + 1 = 0
para todo x. Como encontramos (a,b,c)=(-1,1,1)neq(0,0,0) que satisfaz a condição, concluímos que S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto S é linearmente dependente.

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