Verifique se o subconjunto S é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.):
S=x e^x, x, V=C^infty(R, R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,x e^x,;x
é linearmente independente ou dependente em V = C^infty(R,R).
O conteúdo usado será a definição de independência linear: uma combinação linear que seja a função zero para todo x só pode ter coeficientes nulos.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha e beta tais que, para todo xinR,
alpha,(x e^x);+;beta,x ;=;0
Essa é a combinação linear genérica de x e^x e x, e queremos ver se alpha e beta obrigatoriamente são zero.

Passo 3

Reescrevendo a expressão e fatorando x, obtemos
xl(alpha e^x + betar) ;=; 0 para todo x
Para xneq0 isso equivale a
alpha e^x + beta = 0 para todo xneq0

Passo 4

Como alpha e^x + beta deve ser zero para todo x, diferenciamos em relação a x:
ddxl(alpha e^x + betar) ;=;alpha e^x ;=;0forall x
Logo alpha=0. Substituindo de volta em alpha e^x + beta=0 beta=0.

Passo 5

Como a única solução para
alpha,(x e^x)+beta,x=0
é alpha=0 e beta=0, concluímos que não existe combinação não trivial levando à função zero. Portanto as funções são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto S=x e^x,;x é linearmente independente (l.i.).

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