Verifique se o subconjunto S é linearmente independente (l.i.) ou linearmente dependente (l.d.):
S=e^x, e^-x, V=C^infty(R, R)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S=e^x,,e^-x
é linearmente independente em V=C^infty(R,R). Lembrando que um conjunto de funções f1,f2 é linearmente independente se, na única combinação
alpha f1(x)+beta f2(x)=0para todo xinR,
os coeficientes alpha e beta forem necessariamente nulos.

Passo 2

Suponha que existam alpha,betainR tais que, para todo x,
alpha e^x+beta e^-x=0
Multiplicando ambos os lados por e^x obtemos
alpha e^2x+beta=0para todo xinR

Passo 3

A função xmapsto alpha e^2x+beta só pode ser identicamente zero se alpha=0 (caso contrário o termo alpha e^2x varia com x) e, em seguida, beta=0. Logo, a única combinação linear que gera a função zero é a trivial.

Resposta

O conjunto S=e^x,e^-x é linearmente independente.

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