Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
quaisquer e
é o conjunto das matrizes cujo determinante é igual a zero;
Passo 1
O enunciado define
e o subconjunto
. Para mostrar se
é subespaço vetorial, vamos usar o teste clássico: verificar se
contém o vetor zero, se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero: a matriz zero
satisfaz
, portanto
. Assim,
não é vazio.
Passo 3
Testamos o fechamento sob soma. Considere as matrizes singulars
Cada uma tem determinante zero, logo
. Mas
cuja determinante é 1. Então
, mostrando que
não é fechado sob soma.
Passo 4
Para completo, embora não seja necessário (pois já falhamos no fechamento por soma), vemos que sob multiplicação por escalar ocorre fechamento: para todo
e
,
, logo
.
Resposta
O conjunto
não é subespaço vetorial de
porque não é fechado sob soma.