Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m=n quaisquer e F é o conjunto das matrizes cujo determinante é igual a zero;

Passo 1

O enunciado define E = M(n times n, R) e o subconjunto F = A in E : det(A)=0. Para mostrar se F é subespaço vetorial, vamos usar o teste clássico: verificar se F contém o vetor zero, se é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero: a matriz zero 0 satisfaz det(0)=0, portanto 0in F. Assim, F não é vazio.

Passo 3

Testamos o fechamento sob soma. Considere as matrizes singulars
A = 1 & 0 0 & 0, B = 0 & 0 0 & 1
Cada uma tem determinante zero, logo A,Bin F. Mas
A + B = 1 & 0 0 & 1,
cuja determinante é 1. Então A+Bnotin F, mostrando que F não é fechado sob soma.

Passo 4

Para completo, embora não seja necessário (pois já falhamos no fechamento por soma), vemos que sob multiplicação por escalar ocorre fechamento: para todo cinR e Ain F, det(cA)=c^ndet(A)=0, logo cAin F.

Resposta

O conjunto F não é subespaço vetorial de E porque não é fechado sob soma.

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