Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
quaisquer e
é o conjunto das matrizes simétricas (i.e.,
);
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F das matrizes simétricas em E= M(n×n,ℝ) é um subespaço vetorial. O conteúdo envolvido é teoria de subespaços: precisamos checar que F não é vazio, e que está fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver que a matriz nula 0∈E é simétrica. De fato, usando definição de transposta, temos
Portanto, 0∈F e F não está vazio.
Passo 3
Agora, consideremos duas matrizes A e B em F. Por definição de simetria, A^{t}=A e B^{t}=B. Para fechar sob soma, calculemos a transposta de A+B:
Isso mostra que A+B também é simétrica, logo A+B∈F.
Passo 4
Por fim, pegamos uma matriz A∈F e um escalar c∈ℝ. Queremos ver que cA∈F. Usando propriedades da transposta:
Isso mostra que cA é simétrica, logo cA∈F.
Passo 5
Como satisfazemos: (i) 0∈F, (ii) fechamento sob soma, (iii) fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.
Resposta
F é subespaço vetorial de M(n×n,ℝ).