Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m=n quaisquer e F é o conjunto das matrizes simétricas (i.e., A^t=A );

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F das matrizes simétricas em E= M(n×n,ℝ) é um subespaço vetorial. O conteúdo envolvido é teoria de subespaços: precisamos checar que F não é vazio, e que está fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver que a matriz nula 0∈E é simétrica. De fato, usando definição de transposta, temos
0^t=0
Portanto, 0∈F e F não está vazio.

Passo 3

Agora, consideremos duas matrizes A e B em F. Por definição de simetria, A^{t}=A e B^{t}=B. Para fechar sob soma, calculemos a transposta de A+B:
(A+B)^t=A^t+B^t=A+B
Isso mostra que A+B também é simétrica, logo A+B∈F.

Passo 4

Por fim, pegamos uma matriz A∈F e um escalar c∈ℝ. Queremos ver que cA∈F. Usando propriedades da transposta:
(cA)^t=c,A^t=cA
Isso mostra que cA é simétrica, logo cA∈F.

Passo 5

Como satisfazemos: (i) 0∈F, (ii) fechamento sob soma, (iii) fechamento sob multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

F é subespaço vetorial de M(n×n,ℝ).

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