Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m>1, n>1 quaisquer e F é o conjunto das matrizes tal que a soma dos elementos da primeira coluna é igual a soma dos elementos da segunda coluna;

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se o conjunto
F = { A ∈ M(m×n,ℝ) : soma dos elementos da 1ª coluna = soma dos elementos da 2ª coluna }
é um subespaço vetorial de E = M(m×n,ℝ). O conteúdo aqui é subespaço vetorial, e vamos precisar checar se F contém o vetor nulo, e se é fechado em soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a matriz nula 0 (com todos os elementos iguais a zero) pertence a F. Na matriz nula a soma dos elementos de cada coluna é zero, logo
sumi=1^m 0 = 0 = sumi=1^m 0
e portanto 0 ∈ F.

Passo 3

Agora, fechamos em soma. Sejam A e B matrizes em F, ou seja
sumi=1^m ai1 = sumi=1^m ai2,
sumi=1^m bi1 = sumi=1^m bi2
Então na soma C = A + B temos
sumi=1^m ci1 = sumi=1^m (ai1 + bi1) = sumi=1^m ai1 + sumi=1^m bi1 = sumi=1^m ai2 + sumi=1^m bi2 = sumi=1^m (ai2 + bi2) = sumi=1^m ci2
Logo C ∈ F.

Passo 4

Por fim, fechamos em multiplicação escalar. Seja A ∈ F e α ∈ ℝ. Na matriz αA a soma da 1ª coluna é
sumi=1^m (alpha ai1) = alpha sumi=1^m ai1
e a soma da 2ª coluna é
sumi=1^m (alpha ai2) = alpha sumi=1^m ai2
Como em A temos sum ai1 = sum ai2, segue que
alpha sumi=1^m ai1 = alpha sumi=1^m ai2,
e portanto αA ∈ F.

Passo 5

Como F contém 0, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.

Resposta

Sim, F é um subespaço vetorial de E.

Exercícios relacionados