Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
quaisquer e
é o conjunto das matrizes tal que a soma dos elementos da primeira coluna é igual a soma dos elementos da segunda coluna;
Passo 1
O enunciado pede pra verificar se o conjunto
F = { A ∈ M(m×n,ℝ) : soma dos elementos da 1ª coluna = soma dos elementos da 2ª coluna }
é um subespaço vetorial de E = M(m×n,ℝ). O conteúdo aqui é subespaço vetorial, e vamos precisar checar se F contém o vetor nulo, e se é fechado em soma e multiplicação escalar.
F = { A ∈ M(m×n,ℝ) : soma dos elementos da 1ª coluna = soma dos elementos da 2ª coluna }
é um subespaço vetorial de E = M(m×n,ℝ). O conteúdo aqui é subespaço vetorial, e vamos precisar checar se F contém o vetor nulo, e se é fechado em soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a matriz nula 0 (com todos os elementos iguais a zero) pertence a F. Na matriz nula a soma dos elementos de cada coluna é zero, logo
e portanto 0 ∈ F.
Passo 3
Agora, fechamos em soma. Sejam A e B matrizes em F, ou seja
Então na soma C = A + B temos
Logo C ∈ F.
Passo 4
Por fim, fechamos em multiplicação escalar. Seja A ∈ F e α ∈ ℝ. Na matriz αA a soma da 1ª coluna é
e a soma da 2ª coluna é
Como em A temos
, segue que
e portanto αA ∈ F.
Passo 5
Como F contém 0, é fechado em soma e em multiplicação por escalar, concluímos que F é subespaço vetorial de E.
Resposta
Sim, F é um subespaço vetorial de E.