Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=M(m times n, R) :
m, n quaisquer e F é o conjunto das matrizes tal que a soma dos elementos da primeira linha é igual a soma dos elementos da primeira coluna;

Passo 1

O enunciado está em E=M(mtimes n,R) e pede para verificar se F=Ain E:sumj=1^n a1j=sumi=1^m ai1 é subespaço vetorial. O conteúdo aqui é caracterizar F como núcleo de uma aplicação linear e usar as propriedades de subespaço.

Passo 2

Primeiro mostramos que F não está vazio. A matriz nula O tem todos os elementos iguais a zero, então sumj=1^n o1j=0 e sumi=1^m oi1=0. Logo Oin F.

Passo 3

Definimos a aplicação f:EtoR dada por
f(A)=sumj=1^n a1j-sumi=1^m ai1
Para A,Bin E e escalar lambda, temos
f(A+B)=sumj=1^n(a1j+b1j)-sumi=1^m(ai1+bi1)=f(A)+f(B)
e
f(lambda A)=sumj=1^n(lambda a1j)-sumi=1^m(lambda ai1)=lambda f(A)
Logo f é linear.

Passo 4

Percebemos que
F=ker(f)=Ain E:f(A)=0
Como o núcleo de uma aplicação linear é sempre subespaço vetorial, concluímos que F é subespaço de E.

Resposta

Sim, F é subespaço vetorial de E, pois F=ker(f) para a aplicação linear f(A)=sumj=1^n a1j-sumi=1^m ai1.

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