Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
quaisquer e
é o conjunto das matrizes ortogonais (i.e.,
);
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
F = { A ∈ M(n×n,ℝ) ∣ AᵀA = I }
é subespaço vetorial de E = M(n×n,ℝ). O assunto é espaço vetorial e subespaço, e vamos precisar usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar) e a definição de matriz ortogonal (AᵀA = I).
F = { A ∈ M(n×n,ℝ) ∣ AᵀA = I }
é subespaço vetorial de E = M(n×n,ℝ). O assunto é espaço vetorial e subespaço, e vamos precisar usar a definição de subespaço (conter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar) e a definição de matriz ortogonal (AᵀA = I).
Passo 2
Em teoria de subespaços vetoriais, um subconjunto V de um espaço E só é subespaço se satisfaz três propriedades: 1) o vetor zero de E está em V; 2) dado u,v∈V, então u+v∈V; 3) dado v∈V e escalar c∈ℝ, então c⋅v∈V.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade usando a matriz zero, 0. Como
o que mostra que 0 ∉ F. Logo F já falha em conter o vetor zero de E, então não pode ser subespaço.
Para reforçar, podemos checar fechamento em multiplicação escalar: se A∈F então
Para reforçar, podemos checar fechamento em multiplicação escalar: se A∈F então
Isso só é igual a I quando c^2 = 1, ou seja c=±1. Logo F não é fechado em multiplicação por escalar arbitrário.
Passo 4
Como faltou até a primeira condição, concluímos que F não é subespaço vetorial de M(n×n,ℝ).
Resposta
F não é subespaço vetorial de M(n×n,ℝ).