Verifique se os subconjuntos
abaixo são subespaços vetoriais de
:
é formado pelas funções contínuas;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto F das funções contínuas em [a,b] é subespaço vetorial de E=𝓕([a,b],ℝ). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e subespaços; vamos precisar usar a definição de subespaço que exige conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero de E está em F. O vetor zero é a função f₀(x)=0 para todo x∈[a,b]. Essa função é contínua (pois é constante). Logo f₀∈F.
Passo 3
Agora, testamos a soma. Tomemos f e g em F, ou seja, f e g são contínuas. Sabemos da teoria de análise que a soma de duas funções contínuas também é contínua. Portanto, a função (f+g)(x)=f(x)+g(x) é contínua e pertence a F.
Passo 4
Em seguida, testamos a multiplicação por escalar. Seja α∈ℝ e f∈F contínua. Pela teoria, a função (αf)(x)=α·f(x) é contínua sempre que f for contínua. Logo αf∈F.
Passo 5
Como F contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que F é um subespaço vetorial de E.
Resposta
F é subespaço vetorial de E