Verifique se os subconjuntos F abaixo são subespaços vetoriais de E=mathscrF([a, b], R) :
F é formado pelas funções contínuas;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto F das funções contínuas em [a,b] é subespaço vetorial de E=𝓕([a,b],ℝ). O conteúdo aqui é teoria de espaços vetoriais e subespaços; vamos precisar usar a definição de subespaço que exige conter o vetor zero e ser fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero de E está em F. O vetor zero é a função f₀(x)=0 para todo x∈[a,b]. Essa função é contínua (pois é constante). Logo f₀∈F.

Passo 3

Agora, testamos a soma. Tomemos f e g em F, ou seja, f e g são contínuas. Sabemos da teoria de análise que a soma de duas funções contínuas também é contínua. Portanto, a função (f+g)(x)=f(x)+g(x) é contínua e pertence a F.

Passo 4

Em seguida, testamos a multiplicação por escalar. Seja α∈ℝ e f∈F contínua. Pela teoria, a função (αf)(x)=α·f(x) é contínua sempre que f for contínua. Logo αf∈F.

Passo 5

Como F contém o zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que F é um subespaço vetorial de E.

Resposta

F é subespaço vetorial de E

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