verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=R^3, W=(x, y, z) / x=z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto W é um subespaço vetorial do espaço V = R^3 . Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que W deve satisfazer para ser considerado um subespaço de V .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é considerado um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições principais:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor (0, 0, 0) deve estar em W .
  2. Fechado sob adição: Se u e v estão em W , então u + v também deve estar em W .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se u está em W e c é um escalar, então c cdot u também deve estar em W .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto W = (x, y, z) mid x = z^2 .

Passo 3

1. Verificar se o vetor nulo está em W :
O vetor nulo em R^3 é (0, 0, 0) . Vamos ver se ele satisfaz a condição x = z^2 :
0 = 0^2 implies 0 = 0
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em W .

Passo 4

2. Verificar se W é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em W :
u = (x1, y1, z1) com x1 = z1^2
v = (x2, y2, z2) com x2 = z2^2
A soma desses vetores é:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Para que u + v esteja em W , deve ser que:
x1 + x2 = (z1 + z2)^2
Vamos verificar se isso sempre acontece:
(z1 + z2)^2 = z1^2 + 2z1z2 + z2^2
Comparando com x1 + x2 :
x1 + x2 = z1^2 + z2^2
A menos que 2z1z2 = 0 , o que não é sempre verdade, x1 + x2 neq (z1 + z2)^2 . Portanto, W não é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que W não é fechado sob adição, vamos verificar a terceira condição por completude.
Pegamos um vetor u = (x, y, z) em W ( x = z^2 ) e um escalar c . A multiplicação por escalar resulta em:
c cdot u = (c x, c y, c z)
Para que c cdot u esteja em W :
c x = (c z)^2 implies c z^2 = c^2 z^2
Isso implica que c = c^2 , o que só é verdadeiro se c = 0 ou c = 1 . Para outros valores de c , a igualdade não se sustenta, então W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como W não satisfaz as condições de ser fechado sob adição e multiplicação por escalar, W não é um subespaço vetorial de V = R^3 .

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