verifique se
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. Para isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são as condições que
deve satisfazer para ser considerado um subespaço de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é considerado um subespaço vetorial se ele satisfaz três condições principais:
- Contém o vetor nulo: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor nulo está em
:
O vetor nulo em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor nulo está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
A soma desses vetores é:
Para que
esteja em
, deve ser que:
Vamos verificar se isso sempre acontece:
Comparando com
:
A menos que
, o que não é sempre verdade,
. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que já tenhamos visto que
não é fechado sob adição, vamos verificar a terceira condição por completude.
Pegamos um vetor
em
(
) e um escalar
. A multiplicação por escalar resulta em:
Para que
esteja em
:
Isso implica que
, o que só é verdadeiro se
ou
. Para outros valores de
, a igualdade não se sustenta, então
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
não satisfaz as condições de ser fechado sob adição e multiplicação por escalar,
não é um subespaço vetorial de
.