Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x-y+z=0\right\} e V=\mathbb{R}^{3}. Geometricamente, com quem W identifica-se?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x - y + z = 0\}
é um subespaço vetorial de V = \mathbb{R}^3.
O conteúdo é teoria de subespaços vetoriais: precisamos checar três propriedades
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. Se \mathbf{u},\mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. Se \mathbf{u}\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in W.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) satisfaz a equação de W.
0 - 0 + 0 = 0,
logo \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) em W. Então
x_1 - y_1 + z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - y_2 + z_2 = 0.
Para a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) temos
(x_1+x_2)-(y_1+y_2)+(z_1+z_2) =(x_1-y_1+z_1)+(x_2-y_2+z_2) =0+0=0,
ou seja, \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
Para escalar \alpha\in\mathbb{R}, \alpha\mathbf{u}=(\alpha x_1,\alpha y_1,\alpha z_1) e
\alpha x_1 - \alpha y_1 + \alpha z_1 =\alpha\,(x_1 - y_1 + z_1) =\alpha\cdot 0 =0,
portanto \alpha\mathbf{u}\in W.

Passo 4

Como W contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Geométricamente, a equação
x - y + z = 0
define um plano que passa pela origem em \mathbb{R}^3.

Resposta

W é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.
Geométrica­mente, W é o plano que passa pela origem de equação x - y + z = 0.

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