Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{C})\right. : A é ortogonal \}e V=M_{n}(\mathbb{C}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se V = M_{n}(\mathbb{C}) (espaço vetorial das matrizes n\times n com entradas complexas) e
W = \{\,A \in M_{n}(\mathbb{C}) : A^\mathsf{T}A = I\,\}
(ou seja, o conjunto das matrizes ortogonais) satisfazem a condição de W ser subespaço de V.
Para isso precisamos checar se W está contido em V, se contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.

Passo 2

É imediato que W\subseteq V porque toda matriz ortogonal é uma matriz complexa n\times n.
Agora, para ser subespaço, W deve conter o elemento neutro aditivo de V, que é a matriz zero 0.
Mas para A=0 temos
0^\mathsf{T}0 = 0 \neq I,
logo 0\notin W.
Como um subespaço precisa obrigatoriamente conter a matriz zero, isso já basta para concluir que W não é subespaço de V.

Passo 3

Além disso, mesmo que ignorássemos o problema do zero, W falha em fechamento sob soma e escalar:
  • Se A\in W então A^\mathsf{T}A=I e (-A)^\mathsf{T}(-A)=I, mas
A + (-A) = 0 \notin W.
  • Se \lambda\in\mathbb{C} e A\in W, então
(\lambda A)^\mathsf{T}(\lambda A) = \lambda^2\,I,
que só é igual a I se \lambda^2=1. Para escalar genérico, \lambda A\notin W.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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