Verifique se
é subespaço vetorial de
nos casos:
:
é ortogonal
e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
(espaço vetorial das matrizes
com entradas complexas) e
(ou seja, o conjunto das matrizes ortogonais) satisfazem a condição de
ser subespaço de
.
Para isso precisamos checar se está contido em
, se contém o vetor zero e se é fechado sob soma e multiplicação escalar.
Para isso precisamos checar se
Passo 2
É imediato que
porque toda matriz ortogonal é uma matriz complexa
.
Agora, para ser subespaço, deve conter o elemento neutro aditivo de
, que é a matriz zero
.
Mas para temos
Agora, para ser subespaço,
Mas para
logo
.
Como um subespaço precisa obrigatoriamente conter a matriz zero, isso já basta para concluir que não é subespaço de
.
Como um subespaço precisa obrigatoriamente conter a matriz zero, isso já basta para concluir que
Passo 3
Além disso, mesmo que ignorássemos o problema do zero,
falha em fechamento sob soma e escalar:
- Se
então e , mas
- Se
e , então
que só é igual a
se
. Para escalar genérico,
.