Verifique o teorema de Stokes para
, onde
é a fronteira da região
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar o Teorema de Stokes (no plano, também conhecido como Teorema de Green) para
e para a curva , fronteira da região
.
Vamos calcular ambos os lados do teorema: a integral de linha e a integral dupla
, onde
e
.
e para a curva
Vamos calcular ambos os lados do teorema: a integral de linha
Passo 2
Calculemos primeiro o “rotacional” (no plano, o escalar
):
logo
A integral dupla fica
Como
é o disco de raio
,
, e por simetria
. Portanto
Passo 3
Agora parametrizamos
no sentido anti-hor’ario por
,
.
Então
Então
A integral de linha 'e
Separando termos, quase todos integram a zero em
por serem fun\c{c}~oes 'impares ou exatas com come\c{c}o e fim iguais, restando apenas
Passo 4
Como
e
,
vemos que ambos os lados coincidem em , confirmando o Teorema de Stokes (Green).
e
vemos que ambos os lados coincidem em