Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
onde
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a aplicação
dada por
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de transformação linear, que exige as propriedades de aditividade
e homogeneidade
.
e homogeneidade
Passo 2
Verificação da aditividade. Suponha
e
. Então
e
Por outro lado,
cuja soma é exatamente
.
Logo
Logo
Passo 3
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Temos
e
que é exatamente
. Portanto
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é uma transformação linear. Além disso, geometricamente
é a rotação de ângulo
no plano
, mantendo
fixo.
Resposta
A transformação
é linear.