Verifique se a transformação entre os espaços vetoriais dados são lineares ou não.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} onde T(x, y, z)=\left(x, y \cos 45^{\circ}-z \operatorname{sen} 45^{\circ}, y \operatorname{sen} 45^{\circ}+z \cos 45^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} dada por
T(x,y,z)=\bigl(x,\;y\cos45^\circ - z\sin45^\circ,\;y\sin45^\circ + z\cos45^\circ\bigr)
é uma transformação linear. Vamos usar a definição de transformação linear, que exige as propriedades de aditividade
\,T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v)\,
e homogeneidade
\,T(c\,\mathbf u)=c\,T(\mathbf u)\,.

Passo 2

Verificação da aditividade. Suponha
\mathbf u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \mathbf v=(x_{2},y_{2},z_{2}). Então
\mathbf u+\mathbf v = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
T(\mathbf u+\mathbf v) =\bigl(x_{1}+x_{2},\;(y_{1}+y_{2})\cos45^\circ-(z_{1}+z_{2})\sin45^\circ,\;(y_{1}+y_{2})\sin45^\circ+(z_{1}+z_{2})\cos45^\circ\bigr).
Por outro lado,
T(\mathbf u)+T(\mathbf v) =\bigl(x_{1},\,y_{1}\cos45^\circ-z_{1}\sin45^\circ,\,y_{1}\sin45^\circ+z_{1}\cos45^\circ\bigr) + \bigl(x_{2},\,y_{2}\cos45^\circ-z_{2}\sin45^\circ,\,y_{2}\sin45^\circ+z_{2}\cos45^\circ\bigr),
cuja soma é exatamente
\bigl(x_{1}+x_{2},\,(y_{1}+y_{2})\cos45^\circ-(z_{1}+z_{2})\sin45^\circ,\,(y_{1}+y_{2})\sin45^\circ+(z_{1}+z_{2})\cos45^\circ\bigr).
Logo
T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} e \mathbf u=(x,y,z). Temos
c\,\mathbf u=(c\,x,\;c\,y,\;c\,z)
e
T(c\,\mathbf u) =\bigl(c\,x,\;(c\,y)\cos45^\circ-(c\,z)\sin45^\circ,\;(c\,y)\sin45^\circ+(c\,z)\cos45^\circ\bigr) =c\,\bigl(x,\;y\cos45^\circ - z\sin45^\circ,\;y\sin45^\circ + z\cos45^\circ\bigr),
que é exatamente
\,c\,T(\mathbf u). Portanto
T(c\,\mathbf u)=c\,T(\mathbf u).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que T é uma transformação linear. Além disso, geometricamente T é a rotação de ângulo 45^\circ no plano yz, mantendo x fixo.

Resposta

A transformação T é linear.

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