Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+y, x-y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T: R^2toR^2, T(x,y)=(x+y,;x-y)
é linear. O conteúdo envolve o conceito de transformação linear em espaços vetoriais e vamos usar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,vinR^2 e qualquer escalar c, valem simultaneamente:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c,u)=c,T(u)

Passo 3

Vamos checar a aditividade. Tome u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v=(x1+x2,;y1+y2)
e
T(u+v)=l((x1+x2)+(y1+y2),;(x1+x2)-(y1+y2)r)
Reescrevendo,
T(u+v)=l(x1+y1,;x1-y1r)+l(x2+y2,;x2-y2r) =T(u)+T(v)

Passo 4

Agora a homogeneidade. Para u=(x,y) e escalar cinR, temos
c,u=(c,x,;c,y)
e
T(c,u)=l(c,x+c,y,;c,x-c,yr) =l(c,(x+y),;c,(x-y)r) =c,l(x+y,;x-yr) =c,T(u)

Passo 5

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são satisfeitas, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

A transformação T(x,y)=(x+y,;x-y) é linear.

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