Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. O conteúdo envolve o conceito de transformação linear em espaços vetoriais e vamos usar as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem simultaneamente:
e
Passo 3
Vamos checar a aditividade. Tome
e
. Então
e
Reescrevendo,
Passo 4
Agora a homogeneidade. Para
e escalar
, temos
e
Passo 5
Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são satisfeitas, concluímos que
é uma transformação linear.
Resposta
A transformação
é linear.