Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
T:
,
T:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. Ou seja, preciso checar se
preserva soma de matrizes e multiplicação por escalar. As informações dadas são:
- Domínio:
(matrizes com entradas reais). - Contradomínio:
. - Regra de correspondência: a matriz
é enviada para o vetor .
A tarefa: provar queé linear verificando as propriedades, ou, se não for, dar um contraexemplo.]
Passo 2
Lembrete prático do que significa “linear”: uma transformação
é linear se, para quaisquer matrizes
e qualquer escalar
, valem
e
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são suficientes e necessárias. Vou verificar as duas diretamente com matrizes genéricas.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja
com
. Então a soma é
Aplicando
em
obtemos
Agrupando termos, isso é
Agora calcule
. Temos
logo
Comparando as duas expressões vemos que
Portanto a propriedade da soma está verificada.]
Passo 4
Verificação da homogeneidade. Seja
e
. Então
Aplicando
em
obtemos
Fatorando
,
Assim a propriedade de multiplicação por escalar também vale.]
Passo 5
Como
satisfaz tanto
quanto
para matrizes genéricas e escalar genérico, concluímos que
é linear. Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para
tem-se
; para
tem-se
. Então
, consistente com a linearidade.
Resposta
T é linear.