Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
T: \mathrm{M}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2},
T\left(\left[\begin{array}{ll} \mathrm{a} & \mathrm{~b} \\\ \mathrm{c} & \mathrm{~d} \end{array}\right]\right)=(\mathrm{a}+\mathrm{d}, \mathrm{~b}-\mathrm{c}) ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T:\mathrm{M}_2(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^2,\qquad T\!\left(\begin{bmatrix}a & b \\[2pt] c & d\end{bmatrix}\right)=(a+d,\; b-c)
é linear. Ou seja, preciso checar se T preserva soma de matrizes e multiplicação por escalar. As informações dadas são:
  • Domínio: \mathrm{M}_2(\mathbb{R}) (matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • Contradomínio: \mathbb{R}^2.
  • Regra de correspondência: a matriz \begin{bmatrix}a & b\\\ c & d\end{bmatrix} é enviada para o vetor (a+d,\; b-c)\in\mathbb{R}^2.
    A tarefa: provar que T é linear verificando as propriedades, ou, se não for, dar um contraexemplo.]

Passo 2

Lembrete prático do que significa “linear”: uma transformação T é linear se, para quaisquer matrizes X,Y\in\mathrm{M}_2(\mathbb{R}) e qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R}, valem
T(X+Y)=T(X)+T(Y)
e
T(\lambda X)=\lambda\,T(X).
Essas duas propriedades (aditividade e homogeneidade) são suficientes e necessárias. Vou verificar as duas diretamente com matrizes genéricas.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja
X=\begin{bmatrix}a & b \\[2pt] c & d\end{bmatrix}, \qquad Y=\begin{bmatrix}e & f \\[2pt] g & h\end{bmatrix},
com a,b,c,d,e,f,g,h\in\mathbb{R}. Então a soma é
X+Y=\begin{bmatrix}a+e & b+f \\[2pt] c+g & d+h\end{bmatrix}.
Aplicando T em X+Y obtemos
T(X+Y)=\bigl((a+e)+(d+h),\; (b+f)-(c+g)\bigr).
Agrupando termos, isso é
T(X+Y)=\bigl((a+d)+(e+h),\; (b-c)+(f-g)\bigr).
Agora calcule T(X)+T(Y). Temos
T(X)=(a+d,\; b-c),\qquad T(Y)=(e+h,\; f-g),
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T(X)+T(Y)=\bigl((a+d)+(e+h),\; (b-c)+(f-g)\bigr).
Comparando as duas expressões vemos que
T(X+Y)=T(X)+T(Y).
Portanto a propriedade da soma está verificada.]

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja \lambda\in\mathbb{R} e X=\begin{bmatrix}a & b\\[2pt] c & d\end{bmatrix}. Então
\lambda X=\begin{bmatrix}\lambda a & \lambda b \\[2pt] \lambda c & \lambda d\end{bmatrix}.
Aplicando T em \lambda X obtemos
T(\lambda X)=\bigl(\lambda a+\lambda d,\; \lambda b-\lambda c\bigr).
Fatorando \lambda,
T(\lambda X)=\lambda\,(a+d,\; b-c)=\lambda\,T(X).
Assim a propriedade de multiplicação por escalar também vale.]

Passo 5

Como T satisfaz tanto T(X+Y)=T(X)+T(Y) quanto T(\lambda X)=\lambda T(X) para matrizes genéricas e escalar genérico, concluímos que T é linear. Para ganhar confiança, um exemplo numérico rápido: para X=\begin{bmatrix}1&2\\\ 3&4\end{bmatrix} tem-se T(X)=(1+4,\;2-3)=(5,-1); para Y=\begin{bmatrix}0&1\\\ 1&0\end{bmatrix} tem-se T(Y)=(0+0,\;1-1)=(0,0). Então T(X+Y)=T\!\begin{pmatrix}\begin{smallmatrix}1&3\\\ 4&4\end{smallmatrix}\big)\!=\!(5,-1)=T(X)+T(Y), consistente com a linearidade.

Resposta

T é linear.

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