Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
;
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear candidata
definida por
O que se pede: verificar se
é linear; se não for, apresentar um contraexemplo. Vou listar claramente o que temos:
- Domínio: o conjunto
. - Contradomínio: o conjunto
. - Regra de atribuição: para cada vetor
, a imagem é .
A partir daqui preciso checar as propriedades que definem linearidade.
Passo 2
Definição (explicada passo a passo): uma transformação
é linear se e somente se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem duas propriedades simultaneamente:
- Aditividade:
. - Homogeneidade (compatibilidade com escalares):
.
Vou checar as duas propriedades uma por uma, com contas totalmente detalhadas.
Passo 3
Checagem da aditividade. Seja
e
vetores arbitrários em
. Primeiro calculemos
. O vetor
é
. Aplicando
:
Agora expandimos os termos:
Agora calculemos
separadamente. Temos
Somando componente a componente:
Comparando os dois resultados, vemos que eles são idênticos para quaisquer
. Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita por
.
Passo 4
Checagem da homogeneidade. Seja
um escalar qualquer e
um vetor qualquer. Primeiro calculemos
. Aplicando a regra:
Simplificando fatores:
Agora calculemos
. Como
, multiplicando por
obtemos:
Os dois vetores são iguais para qualquer
. Logo a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Conclusão matemática imediata: como
satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade para todos os vetores e escalares,
é uma transformação linear.
Passo pedagógico extra (útil para a prova): qualquer transformação linear pode ser escrita como multiplicação por uma matriz quando se escolhe a base padrão. Tomando as bases canônicas
,
em
e a base canônica em
, as colunas da matriz são
e
. Calculando:
Portanto a matriz
que representa
(onde
) é
Essa representação matricial confirma e facilita cálculos na prova.]
Resposta
T é linear.