Verifique se as transformações abaixo são lineares. Caso alguma nāo seja, apresente um contraexemplo.
\mathrm{T}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, \mathrm{~T}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(2 \mathrm{x}, 0, \mathrm{x}+\mathrm{y});

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear candidata \mathrm{T}:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
\mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y})=(2\mathrm{x},\,0,\,\mathrm{x}+\mathrm{y}).
O que se pede: verificar se \mathrm{T} é linear; se não for, apresentar um contraexemplo. Vou listar claramente o que temos:
  • Domínio: o conjunto \mathbb{R}^{2}.
  • Contradomínio: o conjunto \mathbb{R}^{3}.
  • Regra de atribuição: para cada vetor (\mathrm{x},\mathrm{y})\in\mathbb{R}^{2}, a imagem é \mathrm{T}(\mathrm{x},\mathrm{y})=(2\mathrm{x},0,\mathrm{x}+\mathrm{y}).
    A partir daqui preciso checar as propriedades que definem linearidade.

Passo 2

Definição (explicada passo a passo): uma transformação \mathrm{T}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^{n} e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem duas propriedades simultaneamente:
  1. Aditividade: \mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v).
  2. Homogeneidade (compatibilidade com escalares): \mathrm{T}(c\,u)=c\,\mathrm{T}(u).
Vou checar as duas propriedades uma por uma, com contas totalmente detalhadas.

Passo 3

Checagem da aditividade. Seja u=(x_{1},y_{1}) e v=(x_{2},y_{2}) vetores arbitrários em \mathbb{R}^{2}. Primeiro calculemos \mathrm{T}(u+v). O vetor u+v é (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2}). Aplicando \mathrm{T}:
\mathrm{T}(u+v)=\mathrm{T}(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2})=(2(x_{1}+x_{2}),\,0,\,(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})).
Agora expandimos os termos:
\mathrm{T}(u+v)=(2x_{1}+2x_{2},\,0,\,x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}).
Agora calculemos \mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v) separadamente. Temos
\mathrm{T}(u)=\mathrm{T}(x_{1},y_{1})=(2x_{1},\,0,\,x_{1}+y_{1}),
\mathrm{T}(v)=\mathrm{T}(x_{2},y_{2})=(2x_{2},\,0,\,x_{2}+y_{2}).
Somando componente a componente:
\mathrm{T}(u)+\mathrm{T}(v)=(2x_{1}+2x_{2},\,0,\,x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}).
Comparando os dois resultados, vemos que eles são idênticos para quaisquer x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}. Portanto a propriedade de aditividade é satisfeita por \mathrm{T}.

Passo 4

Checagem da homogeneidade. Seja c\in\mathbb{R} um escalar qualquer e v=(x,y)\in\mathbb{R}^{2} um vetor qualquer. Primeiro calculemos \mathrm{T}(c\,v)=\mathrm{T}(c x,\,c y). Aplicando a regra:
\mathrm{T}(c x,\,c y)=(2(c x),\,0,\,(c x)+(c y)).
Simplificando fatores:
\mathrm{T}(c x,\,c y)=(c(2x),\,0,\,c(x+y)).
Agora calculemos c\,\mathrm{T}(v). Como \mathrm{T}(v)=(2x,0,x+y), multiplicando por c obtemos:
c\,\mathrm{T}(v)=(c(2x),\,c\cdot 0,\,c(x+y))=(c(2x),\,0,\,c(x+y)).
Os dois vetores são iguais para qualquer c,x,y. Logo a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Conclusão matemática imediata: como \mathrm{T} satisfaz tanto aditividade quanto homogeneidade para todos os vetores e escalares, \mathrm{T} é uma transformação linear.
Passo pedagógico extra (útil para a prova): qualquer transformação linear pode ser escrita como multiplicação por uma matriz quando se escolhe a base padrão. Tomando as bases canônicas \mathbf{e}_{1}=(1,0), \mathbf{e}_{2}=(0,1) em \mathbb{R}^{2} e a base canônica em \mathbb{R}^{3}, as colunas da matriz são \mathrm{T}(\mathbf{e}_{1}) e \mathrm{T}(\mathbf{e}_{2}). Calculando:
\mathrm{T}(\mathbf{e}_{1})=\mathrm{T}(1,0)=(2,0,1),\qquad \mathrm{T}(\mathbf{e}_{2})=\mathrm{T}(0,1)=(0,0,1).
Portanto a matriz A que representa \mathrm{T} (onde \mathrm{T}(x,y)=A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}) é
A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Essa representação matricial confirma e facilita cálculos na prova.]

Resposta

T é linear.

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