Verifique se V=(x, y) mid x, y in R é um espaço vetorial com as operações de adição oplus e de multiplicação por escalar odot dadas por:
(x1, y1) oplus(x2, y2)=(2 x1-2 y2,-x2+y1) ; alpha odot(x, y)=(x, alpha y).

Passo 1

O enunciado define
V = (x,y)mid x,yinR
com as operações
(x1,y1)oplus(x2,y2) = (2x1 - 2y2,,-x2 + y1),
alpha odot (x,y) = (x,,alpha y)
Para que (V,oplus,odot) seja um espaço vetorial sobre R, é preciso satisfazer, entre outros, o axioma da existência de elemento neutro aditivo, isto é, existir um vetor ein V tal que
(u)oplus e = u e eoplus (u) = u forall,uin V

Passo 2

Suponha que exista e=(e1,e2) tal que
(x,y)oplus(e1,e2) = (2x - 2e2,, -e1+y) ;=;(x,y) forall,(x,y)in V
Comparando coordenadas temos o sistema
2x - 2e2 = x, -y + y = 0 implies e1=0
Da primeira equação
2x - 2e2 = x Longrightarrow 2e2 = x Longrightarrow e2 = x2,
que depende de x. Como e2 não pode variar com x, não existe vetor neutro aditivo fixo em V.

Passo 3

Faltando o elemento neutro aditivo, um dos axiomas básicos de espaço vetorial fica violado. Isso impede imediatamente que (V,oplus,odot) seja um espaço vetorial.

Resposta

(V,oplus,odot) não é um espaço vetorial sobre R.

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