Verifique se o vetor \vec{u}=(1,2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v}=(3,-2) e \vec{w}=(-1,4).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor \vec{u}=(1,2) pode ser escrito como combinação linear dos vetores \vec{v}=(3,-2) e \vec{w}=(-1,4).
Informações dadas:
  • \vec{u}=(1,2).
  • \vec{v}=(3,-2).
  • \vec{w}=(-1,4).
Pergunta a responder:
  • Existe escalares (números) a e b tais que \vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}? Se sim, quais são esses escalares?

Passo 2

O que significa escrever \vec{u} como combinação linear de \vec{v} e \vec{w}:
  • Procuramos números (escalares) a e b tais que
\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}.
Aqui a e b são os coeficientes da combinação linear; cada coordenada do vetor resultante vem das combinações das coordenadas correspondentes de \vec{v} e \vec{w}.

Passo 3

Escrevendo a igualdade por componentes (primeira coordenada e segunda coordenada), obtemos o sistema linear em a e b:
a\cdot 3 + b\cdot(-1)=1,
a\cdot(-2) + b\cdot 4=2.
Ou de forma mais direta:
3a - b = 1,
-2a + 4b = 2.

Passo 4

Resolver o sistema por eliminação. Da primeira equação isolamos b:
b = 3a - 1.
Substituímos esse b na segunda equação:
-2a + 4(3a - 1) = 2.
Agora desenvolvemos e resolvemos:
-2a + 12a - 4 = 2,
10a - 4 = 2,
10a = 6,
a = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}.

Passo 5

Encontrado a=\dfrac{3}{5}, voltamos para b = 3a - 1:
b = 3\cdot\frac{3}{5} - 1 = \frac{9}{5} - 1 = \frac{9}{5} - \frac{5}{5} = \frac{4}{5}.
Portanto b=\dfrac{4}{5}.

Passo 6

Verificação rápida: calcular a\vec{v}+b\vec{w} com os valores encontrados e conferir que dá \vec{u}.
\frac{3}{5}\vec{v} + \frac{4}{5}\vec{w} = \frac{3}{5}(3,-2) + \frac{4}{5}(-1,4) = \left(\frac{9}{5},-\frac{6}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5},\frac{16}{5}\right) = \left(\frac{9-4}{5},\frac{-6+16}{5}\right) = \left(\frac{5}{5},\frac{10}{5}\right) = (1,2).
A verificação confere: a combinação dá exatamente \vec{u}.

Resposta

\vec{u}=\dfrac{3}{5}\vec{v}+\dfrac{4}{5}\vec{w}

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