Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}.
vec{u}=(-1,3), vec{v}=(3,-2), vec{w}=(4,2)

Passo 1

O enunciado dá três vetores no plano e pede para verificar se um deles é combinação linear dos outros. Dados (peguei todos os números do enunciado):
\vec{u}=(-1,3), \vec{v}=(3,-2), \vec{w}=(4,2).
O que exatamente é pedido:
  • Determinar se existem escalares (números reais) \alpha e \beta tais que \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}.
  • Se existirem, encontrar esses escalares.

Passo 2

O que significa ser combinação linear — uma mini-aula rápida e prática:
  • Dizer que \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v} significa que dá para somar uma cópia de \vec{u} multiplicada por um número \alpha com uma cópia de \vec{v} multiplicada por um número \beta e obter \vec{w}.
  • Em componentes, se \vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), isso vira o sistema
\alpha u_1 + \beta v_1 = w_1, \qquad \alpha u_2 + \beta v_2 = w_2.
  • Aqui \alpha e \beta são incógnitas reais. Se o sistema tiver solução, \vec{w} é combinação linear; se não tiver, não é.

Passo 3

Aplicando isso aos vetores dados: escrevo as equações em coordenadas (cada passo em TeX):
\alpha(-1)+\beta(3)=4,
\alpha(3)+\beta(-2)=2.
Ou reorganizando:
-\,\alpha + 3\beta = 4,
3\alpha - 2\beta = 2.
Essas são duas equações lineares com as incógnitas \alpha e \beta.

Passo 4

Vou resolver o sistema com substituição (método simples e direto):
Da primeira equação isolo \alpha:
-\,\alpha + 3\beta = 4 \quad\Rightarrow\quad \alpha = 3\beta - 4.
Substituo esse \alpha na segunda equação:
3(3\beta - 4) - 2\beta = 2.
Agora calculo passo a passo:
9\beta - 12 - 2\beta = 2,
7\beta - 12 = 2,
7\beta = 14,
\beta = 2.

Passo 5

Com \beta=2 volto para \alpha = 3\beta - 4:
\alpha = 3\cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2.
Logo encontrei \alpha=2 e \beta=2.

Passo 6

Verificação final — sempre faça na prova para não confiar só nos cálculos intermediários:
2\vec{u}+2\vec{v}=2(-1,3)+2(3,-2)=(-2,6)+(6,-4)=(4,2),
que é exatamente \vec{w}. Portanto a igualdade funciona.
Observação útil (curta): como \vec{u} e \vec{v} geraram \vec{w} e o sistema teve solução única, \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes no plano (pode-se checar também calculando o determinante da matriz formada por \vec{u} e \vec{v} como colunas: \det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix} = (-1)(-2)-3\cdot 3 = -7 \neq 0).

Resposta

Sim. \vec{w}=2\vec{u}+2\vec{v}

Exercícios relacionados