Verifique se o vetor vec{w} é combinação linear de vec{u} e vec{v}. vec{u}=(-1,3), vec{v}=(3,-2), vec{w}=(4,2)
Passo 1
O enunciado dá três vetores no plano e pede para verificar se um deles é combinação linear dos outros. Dados (peguei todos os números do enunciado): \vec{u}=(-1,3), \vec{v}=(3,-2), \vec{w}=(4,2).
O que exatamente é pedido:
Determinar se existem escalares (números reais) \alpha e \beta tais que \alpha\vec{u}+\beta\vec{v}=\vec{w}.
Se existirem, encontrar esses escalares.
Passo 2
O que significa ser combinação linear — uma mini-aula rápida e prática:
Dizer que \vec{w} é combinação linear de \vec{u} e \vec{v} significa que dá para somar uma cópia de \vec{u} multiplicada por um número \alpha com uma cópia de \vec{v} multiplicada por um número \beta e obter \vec{w}.
Em componentes, se \vec{u}=(u_1,u_2), \vec{v}=(v_1,v_2) e \vec{w}=(w_1,w_2), isso vira o sistema
que é exatamente \vec{w}. Portanto a igualdade funciona.
Observação útil (curta): como \vec{u} e \vec{v} geraram \vec{w} e o sistema teve solução única, \vec{u} e \vec{v} são linearmente independentes no plano (pode-se checar também calculando o determinante da matriz formada por \vec{u} e \vec{v} como colunas: \det\begin{pmatrix}-1 & 3 \\\\ 3 & -2\end{pmatrix} = (-1)(-2)-3\cdot 3 = -7 \neq 0).