Verifique se os vetores abaixo formam uma base para o espaço vetorial indicado.
beta=(-1,1,0),(0,1,-1),(-1,0,1) para R^3

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
beta = (-1,1,0),,(0,1,-1),,(-1,0,1)
e pede para verificar se ele forma uma base de R^3.
Em R^3, um conjunto com três vetores é base se, e somente se, for linearmente independente.
Para testar isso, vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular seu determinante.

Passo 2

Formamos a matriz
A = -1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Em seguida, usamos a propriedade de que três vetores em R^3 são independentes se, e somente se, det A neq 0.

Passo 3

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
det A = (-1) cdot det!1 & 0 [-4pt] -1 & 1 + 0 ; cdot (dots) + (-1) cdot det!1 & 1 [2pt] 0 & -1
Agora,
det!1 & 0 [-4pt] -1 & 1 = 1 cdot 1 - 0 cdot (-1) = 1, det!1 & 1 [2pt] 0 & -1 = 1 cdot (-1) - 1 cdot 0 = -1
Logo,
det A = (-1) cdot 1 + (-1) cdot (-1) = -1 + 1 = 0 ]

Passo 4

Como det A = 0, os vetores de beta são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de R^3.

Resposta

Os vetores de beta NÃO formam uma base de R^3.

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