10^circ ) Verifique se os vetores a seguir são LD ou LI:
u=(1,2,-1), v=(2,-1,3), w=(3,-4,7)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(1,2,-1), v=(2,-1,3) e w=(3,-4,7)
são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD) em R^3.
Para isso vamos usar o critério do determinante da matriz formada por esses vetores como colunas e, em seguida, exibir uma combinação linear não trivial caso sejam LD.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são u,v,w e calculamos seu determinante:
A = 1 & 2 & 3 2 & -1 & -4 -1 & 3 & 7
det(A) =1cdotdet!-1 & -43 & 7 -2cdotdet!2 & -4-1 & 7 +3cdotdet!2 & -1-1 & 3
Calculando cada menor:
det!-1 & -43 & 7 =(-1)cdot7-3cdot(-4)= -7+12=5,
det!2 & -4-1 & 7 =2cdot7-(-1)cdot(-4)=14-4=10,
det!2 & -1-1 & 3 =2cdot3-(-1)cdot(-1)=6-1=5
Logo,
det(A)=1cdot5 -2cdot10 +3cdot5 =5 -20 +15 =0

Passo 3

Como det(A)=0, concluímos que u,v,w são linearmente dependentes em R^3.

Passo 4

Para ilustrar a dependência, buscamos escalares
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Verificando na terceira equação:
tudo confere. Assim
uma combinação não trivial que prova a dependência linear.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes (LD).

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