10^circ ) Verifique se os vetores a seguir são LD ou LI:
u=(1,2,5), v=(7,-1,5), w=(1,-1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores
u=(1,2,5), v=(7,-1,5) e w=(1,-1,-1)
são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD).
Para isso, vamos usar o critério do determinante: se colocarmos esses vetores como colunas de uma matriz 3times3 e o determinante for diferente de zero, então eles são LI; caso contrário, são LD.

Passo 2

Formamos a matriz M cujas colunas são u, v e w:
M = 1 & 7 & 1 2 & -1 & -1 5 & 5 & -1

Passo 3

Calculamos o determinante de M pelo desenvolvimento na primeira linha:
det(M) = 1cdotdet-1 & -15 & -1 -7cdotdet2 & -15 & -1 +1cdotdet2 & -1-1 & 5
Agora cada menor:
det-1 & -15 & -1 =(-1)(-1)-(-1)cdot5=1+5=6,
det2 & -15 & -1 =2cdot(-1)-(-1)cdot5=-2+5=3,
det2 & -1-1 & 5 =2cdot5-(-1)cdot(-1)=10-1=9
Logo,
det(M)=1cdot6 -7cdot3 +1cdot9 =6-21+9=-6

Passo 4

Como det(M)=-6neq 0, concluímos que a única combinação linear
lambda1u+lambda2v+lambda3w=0
é a trivial ( lambda1=lambda2=lambda3=0). Portanto os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u,v,w são LI.

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