Verifique se os vetores a seguir são LD ou LI
v=(1,1,-2), w=(0,3,2) e u=(1,-2,4);

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3,
v=(1,1,-2),\quad w=(0,3,2),\quad u=(1,-2,4),
e pede para determinar se eles são linearmente dependentes (LD) ou linearmente independentes (LI). Para isso, vamos usar o critério do determinante: três vetores em \mathbb{R}^3 formam um conjunto LI se, ao colocá-los como colunas de uma matriz A, tivermos \det(A)\neq0.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas colunas são os vetores v, w e u:
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 3 & -2 \\\\ -2 & 2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\begin{vmatrix}3 & -2\\\ 2 & 4\end{vmatrix} -0\cdot\begin{vmatrix}1 & -2\\\ -2 & 4\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}1 & 3\\\ -2 & 2\end{vmatrix}.
Agora,
\begin{vmatrix}3 & -2\\\ 2 & 4\end{vmatrix} =3\cdot4 - (-2)\cdot2 =12 +4 =16, \qquad \begin{vmatrix}1 & 3\\\ -2 & 2\end{vmatrix} =1\cdot2 - 3\cdot(-2) =2 +6 =8.
Logo,
\det(A) = 1\cdot16 + 1\cdot8 =24 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são LINEARMENTE INDEPENDENTES.

Resposta

Os vetores v, w e u são linearmente independentes.

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