Verifique que os vetores
e
não são múltiplos um do outro e escreva o vetor
como combinação linear de
e
, onde:
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois vetores,
e
, e queremos mostrar que eles não são múltiplos um do outro. Além disso, precisamos expressar o vetor
como uma combinação linear desses dois vetores. Isso envolve conceitos de álgebra linear, como vetores, múltiplos e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
e
são múltiplos um do outro. Se dois vetores são múltiplos, significa que um pode ser obtido multiplicando o outro por um escalar.
Vamos checar:
Se existir um número
tal que
, então:
Isso nos dá as equações:
Claramente, não há um único valor de
que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo. Portanto,
e
não são múltiplos um do outro.
Passo 3
Agora, vamos escrever
como uma combinação linear de
e
. Isso significa encontrar dois escalares
e
tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Vamos expandir isso:
Isso resulta em um sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar
e
.
Primeiro, da primeira equação:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Agora que encontramos
, substituímos de volta na expressão para
:
Resposta
Então, o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear de
e
da seguinte forma: