Verifique se W é subespaço vetorial de V nos casos:
W=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{R}): A T=T A, T\right. fixa em \left.M_{n}(\mathbb{R})\right\} e V=M_{n}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{A \in M_{n}(\mathbb{R}) \mid A\,T = T\,A\},
com T fixo em M_{n}(\mathbb{R}), é subespaço vetorial de
V = M_{n}(\mathbb{R}).
O conteúdo aqui é caracterizar subespaços: precisamos mostrar que W não está vazio, e que é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Para mostrar que W não é vazio, basta observar que a matriz nula 0 comuta com qualquer T, pois
0\cdot T = 0 = T\cdot 0.
Logo, 0\in W.

Passo 3

Fechamento sob soma: sejam A,B\in W. Então
A\,T = T\,A \quad\text{e}\quad B\,T = T\,B.
Somando essas igualdades obtém-se
(A+B)T = A\,T + B\,T = T\,A + T\,B = T\,(A+B),
portanto A+B\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja \alpha\in\mathbb{R} e A\in W. Então
A\,T = T\,A
implica
(\alpha A)T = \alpha\,(A\,T) = \alpha\,(T\,A) = T\,(\alpha A),
logo \alpha A\in W.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V=M_{n}(\mathbb{R}).

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