Verifique que X é um vetor solução do sistema dado.
ld xd t=-2 x+5 y d yd t=-2 x+4 y , com X=binom5 cos (t)3 cos (t)-sen(t) e^t

Passo 1

O enunciado pede verificar que o vetor
X(t)=e^t5cos(t)3cos(t)-sin(t)
satisfaz o sistema linear
dxdt=-2x+5y, dydt=-2x+4y
O conteúdo utilizado será a regra do produto para derivadas e a multiplicação matricial.

Passo 2

Vamos calcular dXdt usando
ddtl(e^t u(t)r)=e^t u(t)+e^t u'(t),
onde
u(t)=5cos(t)3cos(t)-sin(t)
Primeiro,
u'(t)=-5sin(t)-3sin(t)-cos(t)
Logo,
dXdt =e^t5cos(t)3cos(t)-sin(t) +e^t-5sin(t)-3sin(t)-cos(t) =e^t5cos(t)-5sin(t)2cos(t)-4sin(t)

Passo 3

Agora avaliamos o lado direito do sistema, ou seja A,X, onde
A=-2&5-2&4, X(t)=e^t5cos(t)3cos(t)-sin(t)
Fazendo a multiplicação
A,X(t) =e^t -2cdot5cos(t)+5l(3cos(t)-sin(t)r) -2cdot5cos(t)+4l(3cos(t)-sin(t)r) =e^t5cos(t)-5sin(t)2cos(t)-4sin(t)

Passo 4

Como
dXdt =e^t5cos(t)-5sin(t)2cos(t)-4sin(t) e A,X(t) =e^t5cos(t)-5sin(t)2cos(t)-4sin(t),
temos dfracdXdt=A,X, isto é, X(t) satisfaz o sistema.

Resposta

O vetor X(t)=e^tl(5cos(t),,3cos(t)-sin(t)r)^T é de fato solução do sistema.

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