Verifique que y(t)=t^2+c t^-2, sendo c uma constante arbitrária, é solução da equação
t y^prime+2 y=4 t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y(t) = t^{2} + c t^{-2} $, onde $ c $ é uma constante, e queremos verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial $ t y’ + 2 y = 4 t^{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso, mais especificamente, derivadas e substituição de funções em equações. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $, ou seja, $ y’(t) $. Vamos diferenciar cada termo da função:
y(t)
A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $ e a derivada de $ c t^{-2} $ é $ -2c t^{-3} $. Então:
t

Passo 3

Agora que temos $ y(t) $ e $ y’(t) $, vamos substituir esses valores na equação dada $ t y’ + 2 y $ e ver se isso resulta em $ 4 t^{2} $.
Primeiro, multiplicamos $ t $ pela derivada $ y’(t) $:
y(t)

Passo 4

Em seguida, multiplicamos 2 pela função $ y(t) $:
y(t)

Passo 5

Agora, somamos as duas expressões que encontramos:
t y' + 2 y = (2t^2 - 2c t^-2) + (2t^2 + 2c t^-2) = 4t^2
Observe que os termos com $ c t^{-2} $ se cancelam:
c t^-2

Resposta

Conseguimos mostrar que $ t y’ + 2 y = 4 t^{2} $ quando $ y(t) = t^{2} + c t^{-2} $. Portanto, a função dada é realmente uma solução da equação diferencial apresentada.

Exercícios relacionados