Verifique que
, sendo
uma constante arbitrária, é solução da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ y(t) = t^{2} + c t^{-2} $, onde $ c $ é uma constante, e queremos verificar se essa função realmente resolve a equação diferencial $ t y’ + 2 y = 4 t^{2} $. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso, mais especificamente, derivadas e substituição de funções em equações. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $, ou seja, $ y’(t) $. Vamos diferenciar cada termo da função:
A derivada de $ t^{2} $ é $ 2t $ e a derivada de $ c t^{-2} $ é $ -2c t^{-3} $. Então:
Passo 3
Agora que temos $ y(t) $ e $ y’(t) $, vamos substituir esses valores na equação dada $ t y’ + 2 y $ e ver se isso resulta em $ 4 t^{2} $.
Primeiro, multiplicamos $ t $ pela derivada $ y’(t) $:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos 2 pela função $ y(t) $:
Passo 5
Agora, somamos as duas expressões que encontramos:
Observe que os termos com $ c t^{-2} $ se cancelam:
Resposta
Conseguimos mostrar que $ t y’ + 2 y = 4 t^{2} $ quando $ y(t) = t^{2} + c t^{-2} $. Portanto, a função dada é realmente uma solução da equação diferencial apresentada.