Verify the initial-value theorem for the function t+sin 3 t.

Passo 1

O enunciado pede para verificar o teorema do valor inicial na transformada de Laplace da função
f(t)=t+sin(3t)
O conteúdo é o seguinte: se F(s)=Lf(t), então o teorema do valor inicial afirma que
limtto0^+f(t) =limstoinftys,F(s)

Passo 2

Calcular a transformada de Laplace de cada termo de f(t).
Para t temos
Lt=1s^2,
e para sin(3t) temos
Lsin(3t) =3s^2+9
Logo
F(s)=Lf(t) =1s^2+3s^2+9

Passo 3

Formar s,F(s) e tomar o limite quando stoinfty:
s,F(s) =sl(1s^2+3s^2+9r) =ss^2+3ss^2+9 =1s+3ss^2+9
Agora
limstoinfty1s=0, limstoinfty3ss^2+9 =limstoinfty3s+9/s =0
Portanto
limstoinftys,F(s)=0

Passo 4

Calcular o valor inicial de f(t):
limtto0^+f(t) =limtto0^+l(t+sin(3t)r) =0+sin(0)=0
Vemos que
limtto0^+f(t)=0 e limstoinftys,F(s)=0,
logo o teorema do valor inicial está verificado para f(t)=t+sin(3t).

Resposta

O teorema do valor inicial é satisfeito, pois
limtto0^+l(t+sin(3t)r) =0 e limstoinftysl(1s^2+3s^2+9r) =0

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