Para 0 vetor G=(1,0 m) imath+ (2,0 m) jmath+(3,0 m) k, determine:
b) O ângulo entre G e cada um dos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem o vetor G = (1,0 m) i + (2,0 m) j + (3,0 m) k e precisa descobrir o ângulo que esse vetor faz com cada um dos eixos coordenados (x, y e z). Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a relação entre vetores e ângulos usando produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor G. O módulo é basicamente o tamanho do vetor e é calculado usando a fórmula:
| G | = raizGx^2 + Gy^2 + Gz^2
Onde $ G_x $, $ G_y $ e $ G_z $ são as componentes do vetor nas direções x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Substituindo os valores do vetor G na fórmula:
| G | = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14 approx 3,7417 , m
Então, o módulo de G é aproximadamente 3,7417 metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor G e o eixo x. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos(thetax) = Gx| G |
Onde $ \theta_x $ é o ângulo entre G e o eixo x.

Passo 5

Substituindo os valores:
cos(thetax) = 13,7417 approx 0,2673
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta_x $, tiramos o arco cosseno desse valor:
thetax

Passo 6

Fazendo o mesmo para o eixo y:
cos(thetay) = 23,7417 approx 0,5345
Então,
thetay = arccos(0,5345) approx 57,69^circ

Passo 7

E para o eixo z:
cos(thetaz) = 33,7417 approx 0,8018
Assim,
thetaz = arccos(0,8018) approx 36,87^circ

Resposta

O ângulo entre G e o eixo x é aproximadamente 74,21°, com o eixo y é 57,69° e com o eixo z é 36,87°.

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