Para 0 vetor
, determine:
b)
ângulo entre
e cada um dos eixos coordenados.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre vetores! A gente tem o vetor G = (1,0 m) i + (2,0 m) j + (3,0 m) k e precisa descobrir o ângulo que esse vetor faz com cada um dos eixos coordenados (x, y e z). Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a relação entre vetores e ângulos usando produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor G. O módulo é basicamente o tamanho do vetor e é calculado usando a fórmula:
Onde $ G_x $, $ G_y $ e $ G_z $ são as componentes do vetor nas direções x, y e z, respectivamente.
Passo 3
Substituindo os valores do vetor G na fórmula:
Então, o módulo de G é aproximadamente 3,7417 metros.
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo entre o vetor G e o eixo x. Para isso, usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Onde $ \theta_x $ é o ângulo entre G e o eixo x.
Passo 5
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar o ângulo $ \theta_x $, tiramos o arco cosseno desse valor:
Passo 6
Fazendo o mesmo para o eixo y:
Então,
Passo 7
E para o eixo z:
Assim,
Resposta
O ângulo entre G e o eixo x é aproximadamente 74,21°, com o eixo y é 57,69° e com o eixo z é 36,87°.