O vetor \mathbf{A} encontra-se no terceiro quadrante do plano xy , e sua magnitude é 25 unidades. Se A_{y}=2 A_{x}, então escreva \mathbf{A} em função dos vetores unitários \mathbf{i} e \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escrevamos o vetor em função dos vetores unitários:
  • O vetor \mathbf{A} está no terceiro quadrante do plano xy.
  • A magnitude (norma) de \mathbf{A} é 25 unidades: \|\mathbf{A}\|=25.
  • A componente y satisfaz \;A_{y}=2A_{x}.
    As perguntas implícitas: encontrar A_{x} e A_{y} e então escrever \mathbf{A} na forma \mathbf{A}=A_{x}\,\mathbf{i}+A_{y}\,\mathbf{j}.

Passo 2

Primeiro, lembrar a representação de um vetor no plano e o que são \mathbf{i} e \mathbf{j}:
  • Todo vetor no plano pode ser escrito como \mathbf{A}=A_{x}\,\mathbf{i}+A_{y}\,\mathbf{j}, onde A_{x} e A_{y} são as componentes (projeções) do vetor nas direções x e y.
  • \mathbf{i} é o vetor unitário na direção positiva de x (tem magnitude 1 e componentes (1,0)).
  • \mathbf{j} é o vetor unitário na direção positiva de y (tem magnitude 1 e componentes (0,1)).
    A norma (magnitude) de \mathbf{A} é dada por
\|\mathbf{A}\|=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}.

Passo 3

Usar a relação \;A_{y}=2A_{x} dentro da fórmula da norma:
\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}=25
substituindo A_{y}=2A_{x} temos
\sqrt{A_{x}^{2}+(2A_{x})^{2}}=25.

Passo 4

Simplificar a expressão:
\sqrt{A_{x}^{2}+4A_{x}^{2}}=\sqrt{5A_{x}^{2}}=25.
Como \sqrt{5A_{x}^{2}}=|A_{x}|\sqrt{5}, obtemos
|A_{x}|\sqrt{5}=25.

Passo 5

Resolver para |A_{x}|:
|A_{x}|=\frac{25}{\sqrt{5}}.
Simplificando \frac{25}{\sqrt{5}}=\frac{25\sqrt{5}}{5}=5\sqrt{5}. Logo
|A_{x}|=5\sqrt{5}.

Passo 6

Agora usar a informação do terceiro quadrante: nesse quadrante tanto a componente x quanto a componente y são negativas. Portanto A_{x} deve ser negativo. Assim
A_{x}=-5\sqrt{5}.
Usando A_{y}=2A_{x} segue
A_{y}=2(-5\sqrt{5})=-10\sqrt{5}.

Passo 7

Escrever o vetor \mathbf{A} na forma com vetores unitários:
\mathbf{A}=A_{x}\,\mathbf{i}+A_{y}\,\mathbf{j}=-5\sqrt{5}\,\mathbf{i}-10\sqrt{5}\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{A}=-5\sqrt{5}\,\mathbf{i}-10\sqrt{5}\,\mathbf{j}

Exercícios relacionados