O vetor velocidade para uma partícula em
é
. Calcule a velocidade inicial e o ângulo inicial. Calcule o vetor posição em
, supondo que a partícula parte da origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor velocidade de uma partícula no tempo $ t = 5 $ segundos:
. Precisa calcular a velocidade inicial, o ângulo inicial e o vetor posição naquele instante, sabendo que a partícula parte da origem. Vamos usar os conceitos de cinemática vetorial e movimento retilíneo uniforme ou com aceleração constante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade no tempo $ t = 5 $ segundos. A velocidade é um vetor que indica a rapidez e a direção do movimento. Se não há aceleração, a velocidade inicial seria a mesma em qualquer instante. Mas como o exercício pede para calcular a velocidade inicial, vamos supor que há uma aceleração constante.
A equação que relaciona a velocidade no tempo com a velocidade inicial é:
Onde:
-
é a velocidade no tempo $ t $, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração, - $ t $ é o tempo.
Mas como temos apenas a velocidade em $ t = 5 $ segundos, precisamos de mais informações para encontrar
. No entanto, se considerarmos que a aceleração é constante e que a partícula parte da origem sem velocidade inicial, podemos simplificar.
Vamos assumir que a velocidade inicial
é zero. Assim, a velocidade em qualquer tempo será apenas devido à aceleração:
Mas essa suposição pode não ser correta. Por isso, vamos recalcular considerando que a aceleração não é zero.
Passo 3
Para encontrar a velocidade inicial, precisamos resolver o sistema de equações vetoriais. Sabemos que em $ t = 5 $ segundos:
Mas sem informações sobre a aceleração, fica difícil determinar
. Então, vamos considerar que não há aceleração, ou seja,
. Assim, a velocidade inicial é igual à velocidade em qualquer tempo:
Passo 4
Agora, vamos calcular o ângulo inicial. O ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo $ \hat{\mathbf{i}} $ (eixo x) pode ser encontrado usando a função tangente:
Calculando isso:
Passo 5
Por último, vamos calcular o vetor posição em $ t = 5 $ segundos, sabendo que a partícula parte da origem. Se a velocidade é constante, a posição é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade inicial é
, o ângulo inicial é aproximadamente
, e o vetor posição em $ t = 5 $ segundos é
.