O vetor velocidade para uma partícula em t=5 é v=(20 m / s) i+ (10 m / s) j. Calcule a velocidade inicial e o ângulo inicial. Calcule o vetor posição em t=5 s, supondo que a partícula parte da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem o vetor velocidade de uma partícula no tempo $ t = 5 $ segundos: t = 5 . Precisa calcular a velocidade inicial, o ângulo inicial e o vetor posição naquele instante, sabendo que a partícula parte da origem. Vamos usar os conceitos de cinemática vetorial e movimento retilíneo uniforme ou com aceleração constante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a velocidade no tempo $ t = 5 $ segundos. A velocidade é um vetor que indica a rapidez e a direção do movimento. Se não há aceleração, a velocidade inicial seria a mesma em qualquer instante. Mas como o exercício pede para calcular a velocidade inicial, vamos supor que há uma aceleração constante.
A equação que relaciona a velocidade no tempo com a velocidade inicial é:
t = 5
Onde:
  • v = v0 + a t é a velocidade no tempo $ t $,
  • v é a velocidade inicial,
  • t é a aceleração,
  • $ t $ é o tempo.
Mas como temos apenas a velocidade em $ t = 5 $ segundos, precisamos de mais informações para encontrar v0. No entanto, se considerarmos que a aceleração é constante e que a partícula parte da origem sem velocidade inicial, podemos simplificar.
Vamos assumir que a velocidade inicial a é zero. Assim, a velocidade em qualquer tempo será apenas devido à aceleração:
t
Mas essa suposição pode não ser correta. Por isso, vamos recalcular considerando que a aceleração não é zero.

Passo 3

Para encontrar a velocidade inicial, precisamos resolver o sistema de equações vetoriais. Sabemos que em $ t = 5 $ segundos:
t = 5
Mas sem informações sobre a aceleração, fica difícil determinar v = v0 + a t = (20 , m/s), i + (10 , m/s), j . Então, vamos considerar que não há aceleração, ou seja, v0. Assim, a velocidade inicial é igual à velocidade em qualquer tempo:
a = 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo inicial. O ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo $ \hat{\mathbf{i}} $ (eixo x) pode ser encontrado usando a função tangente:
i
Calculando isso:
theta = tan^-1(vyvx) = tan^-1(1020) = tan^-1(0,5)

Passo 5

Por último, vamos calcular o vetor posição em $ t = 5 $ segundos, sabendo que a partícula parte da origem. Se a velocidade é constante, a posição é dada por:
t = 5
Substituindo os valores:
r = v0 t

Resposta

A velocidade inicial é v0 = (20 , m/s), i + (10 , m/s), j, o ângulo inicial é aproximadamente 26,57^circ, e o vetor posição em $ t = 5 $ segundos é t = 5 .

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