O vetor E=(y z-2 x) i+x z j+x y k representa uma região de campo elétrico? Se sim, encontre o potencial elétrico correspondente a esse campo?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
E=(y z-2 x),i+x z,j+x y,k
e pergunta se ele pode ser um campo elétrico estático (isto é, se é conservativo) e, em caso afirmativo, pede o potencial elétrico V tal que
E=-nabla V. Para isso vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar V.

Passo 2

Calculamos o rotacional nabla times E. Suas componentes são
(nabla times E)x = partial Ezpartial y - partial Eypartial z = partial (xy)partial y - partial (xz)partial z = x - x = 0,
(nabla times E)y = partial Expartial z - partial Ezpartial x = partial (yz - 2x)partial z - partial (xy)partial x = y - y = 0,
(nabla times E)z = partial Eypartial x - partial Expartial y = partial (xz)partial x - partial (yz - 2x)partial y = z - z = 0
Como o rotacional é nulo em toda parte e o domínio é simplesmente-conexo, E é conservativo.

Passo 3

Para achar V(x,y,z) usamos
Ex=-partial Vpartial x=y z-2x.
Logo
partial Vpartial x=-y z+2x
e, integrando em x,
V(x,y,z)=integral(2x-yz),dx =x^2 - x y z + f(y,z),
onde f(y,z) é uma função ainda a determinar.

Passo 4

Usamos agora
Ey=-partial Vpartial y=x z.
Como
partial Vpartial y =partialpartial yl(x^2 - x y z + f(y,z)r) =-x z + partial fpartial y,
iguais a -Ey=-xz dão
-xz + partial fpartial y=-xzimplies partial fpartial y=0.
Logo f(y,z)=g(z).

Passo 5

Finalmente, de
Ez=-partial Vpartial z=x y
temos
partial Vpartial z =partialpartial zl(x^2 - x y z + g(z)r) =-xy + g'(z),
que deve ser igual a -Ez=-xy. Logo g'(z)=0 e g(z)= constante.

Resposta

V(x,y,z)=x^2 - x,y,z + C, em que C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados