O vetor
representa uma região de campo elétrico? Se sim, encontre o potencial elétrico correspondente a esse campo?
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e pergunta se ele pode ser um campo elétrico estático (isto é, se é conservativo) e, em caso afirmativo, pede o potencial elétrico tal que
. Para isso vamos usar o teste do rotacional e depois integrar para achar
.
e pergunta se ele pode ser um campo elétrico estático (isto é, se é conservativo) e, em caso afirmativo, pede o potencial elétrico
Passo 2
Calculamos o rotacional
. Suas componentes são
Como o rotacional é nulo em toda parte e o domínio é simplesmente-conexo,
é conservativo.
Passo 3
Para achar
usamos
.
Logo
Logo
e, integrando em
,
onde
é uma função ainda a determinar.
Passo 4
Usamos agora
.
Como
Como
iguais a
dão
.
Logo .
Logo
Passo 5
Finalmente, de
temos
temos
que deve ser igual a
. Logo
e
constante.