Para os vetores abaixo, calcule , e o ângulo entre e b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular o produto escalar (), o produto vetorial (), as magnitudes dos vetores ( e ), a magnitude do produto vetorial () e o ângulo entre os vetores e . Para isso, vamos usar formulas básicas de álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar é dado por:
Onde , , são as componentes de e , , são as componentes de .
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial é dado por:
Esse determinante vai nos dar as componentes do vetor resultante.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é calculada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Passo 5
Depois, vamos calcular a magnitude do produto vetorial|a times b|, que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores a e b.
Passo 6
Por fim, vamos determinar o ângulo theta entre os vetores usando a fórmula do produto escalar:
costheta = a cdot b|a| , |b|
Depois, usamos o arco cosseno para encontrar o ângulo.
Resposta
Após os cálculos, temos:
Produto escalar: a cdot b = -3
Produto vetorial: a times b = i times (4j + k) -3k times (4j + k) = i( -3 cdot 0 - 0 cdot 4 ) - j(1 cdot 0 - (-3) cdot 4) + k(1 cdot 4 - (-3) cdot 0) = i(0) - j(12) + k(4) = -12j + 4k