Para os vetores abaixo, calcule a cdot b, a times b, a, b,|a times b|, e o ângulo theta entre a e b.
a=i-3 k, b=4 j+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular o produto escalar ( a cdot b), o produto vetorial ( a times b), as magnitudes dos vetores ( a e b), a magnitude do produto vetorial ( |a times b|) e o ângulo theta entre os vetores a e b. Para isso, vamos usar formulas básicas de álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Onde ax, ay, az são as componentes de a e bx, by, bz são as componentes de b.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre a e b. O produto vetorial é dado por:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Esse determinante vai nos dar as componentes do vetor resultante.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é calculada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2

Passo 5

Depois, vamos calcular a magnitude do produto vetorial |a times b|, que representa a área do paralelogramo formado pelos vetores a e b.

Passo 6

Por fim, vamos determinar o ângulo theta entre os vetores usando a fórmula do produto escalar:
costheta = a cdot b|a| , |b|
Depois, usamos o arco cosseno para encontrar o ângulo.

Resposta

Após os cálculos, temos:
  • Produto escalar: a cdot b = -3
  • Produto vetorial: a times b = i times (4j + k) -3k times (4j + k) = i( -3 cdot 0 - 0 cdot 4 ) - j(1 cdot 0 - (-3) cdot 4) + k(1 cdot 4 - (-3) cdot 0) = i(0) - j(12) + k(4) = -12j + 4k
  • Magnitude de a: |a| = raiz1^2 + 0^2 + (-3)^2 = raiz10
  • Magnitude de b: |b| = raiz0^2 + 4^2 + 1^2 = raiz17
  • Magnitude do produto vetorial: |a times b| = raiz0^2 + (-12)^2 + 4^2 = raiz160 = 4raiz10
  • Ângulo entre a e b: theta = cos^-1( -3raiz10 cdot raiz17 ) approx 104,48^circ

Exercícios relacionados