Para os vetores abaixo, calcule , e o ângulo entre e b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular vários resultados envolvendo os vetores e . Vamos trabalhar com o produto escalar (), produto vetorial (), as magnitudes desses vetores ( e ), a magnitude do produto vetorial () e o ângulo entre os vetores (). Para isso, vamos precisar entender como calcular cada uma dessas operações usando componentes dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes. Ou seja:
No nosso caso, e . Note que a componente de é 0 e a componente de também é 0.
Passo 3
Vamos substituir os valores das componentes na fórmula do produto escalar:
Então, o produto escalar é igual a .
Passo 4
Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial em termos de componentes é:
Usando os valores das componentes:
a times b = i & j & k 3 & 2 & 0 -2 & 0 & 4
Passo 5
Vamos calcular o determinante:
a times b = i(2 cdot 4 - 0 cdot 0) - j(3 cdot 4 - 0 cdot (-2)) + k(3 cdot 0 - 2 cdot (-2))
Simplificando:
a times b = i(8) - j(12) + k(4)
Então:
a times b = 8i - 12j + 4k
Passo 6
Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é dada por: