Para os vetores abaixo, calcule a cdot b, a times b, a, b,|a times b|, e o ângulo theta entre a e b.
a=3 i+2 j, b=-2 i+4 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa calcular vários resultados envolvendo os vetores a e b. Vamos trabalhar com o produto escalar ( a cdot b), produto vetorial ( a times b), as magnitudes desses vetores ( a e b), a magnitude do produto vetorial ( |a times b|) e o ângulo entre os vetores ( theta). Para isso, vamos precisar entender como calcular cada uma dessas operações usando componentes dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar a cdot b. O produto escalar de dois vetores é dado pela soma dos produtos das suas componentes correspondentes. Ou seja:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
No nosso caso, a=3 i+2 j e b=-2 i+4 k. Note que a componente z de a é 0 e a componente y de b também é 0.

Passo 3

Vamos substituir os valores das componentes na fórmula do produto escalar:
a cdot b = (3)(-2) + (2)(0) + (0)(4) = -6 + 0 + 0 = -6
Então, o produto escalar a cdot b é igual a -6.

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial a times b. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para o produto vetorial em termos de componentes é:
a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz
Usando os valores das componentes:
a times b = i & j & k 3 & 2 & 0 -2 & 0 & 4

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
a times b = i(2 cdot 4 - 0 cdot 0) - j(3 cdot 4 - 0 cdot (-2)) + k(3 cdot 0 - 2 cdot (-2))
Simplificando:
a times b = i(8) - j(12) + k(4)
Então:
a times b = 8i - 12j + 4k

Passo 6

Agora, vamos encontrar as magnitudes dos vetores a e b. A magnitude de um vetor v = vx i + vy j + vz k é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para a=3 i+2 j, temos:
a = |a| = raiz3^2 + 2^2 + 0^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,605
Para b=-2 i+4 k, temos:
b = |b| = raiz(-2)^2 + 0^2 + 4^2 = raiz4 + 0 + 16 = raiz20 approx 4,472

Passo 7

Vamos calcular a magnitude do produto vetorial |a times b|. Usamos a mesma fórmula de magnitude para o vetor resultante:
|a times b| = raiz8^2 + (-12)^2 + 4^2 = raiz64 + 144 + 16 = raiz224 approx 14,966

Passo 8

Por fim, vamos determinar o ângulo theta entre os vetores a e b. Sabemos que o produto escalar também pode ser expresso como:
a cdot b = |a| , |b| costheta
Para encontrar theta, rearranjamos a fórmula:
costheta = a cdot b|a| , |b| = -63,605 times 4,472 approx -616,108 approx -0,373
Então,
theta = cos^-1(-0,373) approx 111,47^circ

Resposta

a cdot b = -6
a times b = 8i - 12j + 4k
a = |a| approx 3,605
b = |b| approx 4,472
|a times b| approx 14,966
theta approx 111,47^circ

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