Para os vetores
e
, calcule
.
Passo 1
Entendendo o Enunciado
Vamos lá! A gente tem três vetores complexos:
-
u = (1 + i, , 4, , 3i) -
v = (3, , -4i, , 2 + 3i) -
w = (1 - i, , 4i, , 4 - 5i)
O exercício pede para calcular:
Conteúdo da Matéria:
Vamos precisar saber sobre produtos internos (ou produto escalar) de vetores complexos, conjugados de vetores, e norma de vetores.
Passo 2
Calculando o Conjugado de
u
Primeiro, vamos encontrar o conjugado de
u , que é simplesmente trocar o sinal da parte imaginária de cada componente:
Passo 3
Multiplicando
u por
u
Agora, multiplicamos cada componente de
u pelo correspondente em
u :
Vamos calcular cada parte:
-
(1 - i)(1 + i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - (-1) = 2 -
4 times 4 = 16 -
(-3i) times 3i = -9i^2 = -9(-1) = 9
Então:
Passo 4
Calculando o Produto Interno
lang<= u , u, , w rang<=
O produto interno de vetores complexos é dado por:
Aplicando isso:
Calculando os conjugados:
-
1 - i = 1 + i -
4i = -4i -
4 - 5i = 4 + 5i
Substituindo:
Passo 5
Calculando a Norma de
u
A norma de um vetor complexo é dada por:
Calculando cada módulo:
-
|1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 -
|4| = 4 -
|3i| = 3
Então:
Passo 6
Multiplicando
|u| por
v
Multiplicamos cada componente de
v por
3raiz3 :
Passo 7
Calculando o Produto Interno
lang<= |u| , v, , u rang<=
Usando a definição do produto interno:
Calculando os conjugados:
-
1 + i = 1 - i -
4 = 4 -
3i = -3i
Substituindo:
Calculando cada termo:
-
9raiz3(1 - i) = 9raiz3 - 9raiz3i -
-12raiz3i times 4 = -48raiz3i -
(já que(6raiz3 + 9raiz3i)(-3i) = -18raiz3i -27raiz3i^2 = -18raiz3i + 27raiz3 )i^2 = -1
Somando tudo:
Passo 8
Somando os Produtos Internos e Calculando o Conjugado Final
Agora, somamos os dois produtos internos que calculamos:
Agora, aplicamos o conjugado a toda a expressão: