Para os vetores u=(1+i, 4,3 i), v=(3,-4 i, 2+3 i) e w=(1-i, 4 i, 4-5 i), calcule lang<=baru u, wrang<=+lang<= | u|v, urang<=.

Passo 1

Entendendo o Enunciado
Vamos lá! A gente tem três vetores complexos:
  • u = (1 + i, , 4, , 3i)
  • v = (3, , -4i, , 2 + 3i)
  • w = (1 - i, , 4i, , 4 - 5i)
O exercício pede para calcular:
lang<= overlineu , u, , w rang<= + lang<= |u| , v, , u rang<=
Conteúdo da Matéria:
Vamos precisar saber sobre produtos internos (ou produto escalar) de vetores complexos, conjugados de vetores, e norma de vetores.

Passo 2

Calculando o Conjugado de u
Primeiro, vamos encontrar o conjugado de u, que é simplesmente trocar o sinal da parte imaginária de cada componente:
u = (1 + i, , 4, , 3i) = (1 - i, , 4, , -3i)

Passo 3

Multiplicando u por u
Agora, multiplicamos cada componente de u pelo correspondente em u:
u , u = ( (1 - i)(1 + i), , 4 times 4, , (-3i) times 3i )
Vamos calcular cada parte:
  1. (1 - i)(1 + i) = 1 + i - i - i^2 = 1 - (-1) = 2
  2. 4 times 4 = 16
  3. (-3i) times 3i = -9i^2 = -9(-1) = 9
Então:
u , u = (2, , 16, , 9)

Passo 4

Calculando o Produto Interno lang<= u , u, , w rang<=
O produto interno de vetores complexos é dado por:
lang<= a, b rang<= = sumk ak bk
Aplicando isso:
lang<= u , u, , w rang<= = 2 times 1 - i + 16 times 4i + 9 times 4 - 5i
Calculando os conjugados:
  • 1 - i = 1 + i
  • 4i = -4i
  • 4 - 5i = 4 + 5i
Substituindo:
2(1 + i) + 16(-4i) + 9(4 + 5i) = 2 + 2i - 64i + 36 + 45i = (2 + 36) + (2i - 64i + 45i) = 38 - 17i

Passo 5

Calculando a Norma de u
A norma de um vetor complexo é dada por:
|u| = raiz |1 + i|^2 + |4|^2 + |3i|^2
Calculando cada módulo:
  • |1 + i| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
  • |4| = 4
  • |3i| = 3
Então:
|u| = raiz2 + 16 + 9 = raiz27 = 3raiz3

Passo 6

Multiplicando |u| por v
Multiplicamos cada componente de v por 3raiz3:
|u| , v = 3raiz3 times (3, , -4i, , 2 + 3i) = (9raiz3, , -12raiz3i, , 6raiz3 + 9raiz3i)

Passo 7

Calculando o Produto Interno lang<= |u| , v, , u rang<=
Usando a definição do produto interno:
lang<= |u| , v, , u rang<= = 9raiz3 times 1 + i + (-12raiz3i) times 4 + (6raiz3 + 9raiz3i) times 3i
Calculando os conjugados:
  • 1 + i = 1 - i
  • 4 = 4
  • 3i = -3i
Substituindo:
9raiz3(1 - i) + (-12raiz3i)(4) + (6raiz3 + 9raiz3i)(-3i)
Calculando cada termo:
  1. 9raiz3(1 - i) = 9raiz3 - 9raiz3i
  2. -12raiz3i times 4 = -48raiz3i
  3. (6raiz3 + 9raiz3i)(-3i) = -18raiz3i -27raiz3i^2 = -18raiz3i + 27raiz3 (já que i^2 = -1)
Somando tudo:
9raiz3 - 9raiz3i - 48raiz3i + 27raiz3 = (9raiz3 + 27raiz3) + (-9raiz3i -48raiz3i) = 36raiz3 - 57raiz3i

Passo 8

Somando os Produtos Internos e Calculando o Conjugado Final
Agora, somamos os dois produtos internos que calculamos:
lang<= u , u, , w rang<= + lang<= |u| , v, , u rang<= = (38 - 17i) + (36raiz3 - 57raiz3i) = (38 + 36raiz3) + (-17i -57raiz3i)
Agora, aplicamos o conjugado a toda a expressão:
(38 + 36raiz3) + (-17 -57raiz3)i = 38 + 36raiz3 + 17i +57raiz3i

Resposta

38 + 36raiz3 + 17i + 57raiz3,i

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