Para os vetores P=2 i-j+k, Q=i+2 j-k e R=-i+j+2 k:
Encontre o produto misto P cdot(Q times R) e interprete seu significado geométrico.

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores vec P=2hatimath-hatjmath+hat k, vec Q=hatimath+2hatjmath-hat k e vec R=-hatimath+hatjmath+2hat k. Precisamos usar o produto misto
vec Pcdot(vec Qtimesvec R),
que, algebricamente, é o determinante cujas linhas são as componentes de vec P,vec Q,vec R, e, geometricamente, dá o volume orientado do paralelepípedo formado por esses vetores.

Passo 2

Calcular vec Qtimesvec R por determinante:
vec Qtimesvec R = hatimath & hatjmath & hat k 1 & 2 & -1 -1 & 1 & 2 = hatimath,(2cdot2 - (-1)cdot1);-;hatjmath,(1cdot2 - (-1)cdot(-1));+;hat k,(1cdot1 - 2cdot(-1)) =5,hatimath ;-;hatjmath;+;3,hat k

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar com vec P=(2,-1,1):
vec Pcdot(vec Qtimesvec R) = (2,-1,1)cdot(5,-1,3) =2cdot5 + (-1)cdot(-1) + 1cdot3 =10 + 1 + 3 =14

Passo 4

Geometricamente, l|vec Pcdot(vec Qtimesvec R)r| é o volume do paralelepípedo determinado por vec P,vec Q,vec R. Como obtivemos 14, esse volume vale 14. O sinal positivo indica que a orientação dos vetores segue a regra da mão direita.

Resposta

vec Pcdot(vec Qtimesvec R)=14, que corresponde ao volume orientado ( +14) e cujo volume absoluto é 14.

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