Vetores no Espaço
Sejam os seguintes vetores no espaço dados em coordenadas:
u=[l 1 1 1 ], v=[r 2 -1 3 ] e w=[r -1 -1 0 ]
Considere as seguintes afirmativas:
I - Existem escalares alpha e beta tais que alpha v+beta w=u;
II - O ângulo entre os vetores v e w é agudo;
III -|v|>|u|.
Marque a alternativa CORRETA:
Nenhuma das alternativas é verdadeira;
Apenas a primeira alternativa é verdadeira;
Apenas a segunda alternativa é verdadeira;
Apenas a terceira alternativa é verdadeira;
Apenas as alternativas I e II são verdadeiras;
Apenas as alternativas I e III são verdadeiras;
Apenas as alternativas II e III são verdadeiras;
Todas as alternativas são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem três vetores no espaço: u, v e w. O exercício pergunta sobre três afirmações relacionadas a esses vetores. Vamos precisar usar noções de combinação linear, ângulo entre vetores e norma (ou tamanho) dos vetores para verificar quais dessas afirmações são verdadeiras.

Passo 2

Verificando a Afirmação I: Existem escalares [\alpha) e tais que .
Isso quer dizer que a gente precisa resolver o sistema de equações que resulta dessa combinação linear. Vamos colocar os vetores nas equações:
Isso dá:
Resolvendo a terceira equação: (3\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{3}].
Substituindo na segunda equação: .
Vamos verificar na primeira equação:
Como as equações não são compatíveis, a Afirmação I é falsa.

Passo 3

Verificando a Afirmação II: O ângulo entre os vetores v e w é agudo.
Para saber se o ângulo é agudo, vamos usar o produto escalar:
v cdot w = | v | cdot | w | cdot cos(theta)
Se o produto escalar for positivo, o ângulo é agudo.
Calculando o produto escalar:
v cdot w = (2)(-1) + (-1)(-1) + (3)(0) = -2 + 1 + 0 = -1
Como -1 é negativo, a Afirmação II é falsa.

Passo 4

Verificando a Afirmação III: * -|v| > |u|*.
Primeiro, vamos calcular as normas:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 approx 3,7417
|u| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3 approx 1,7321
Agora, verificando a desigualdade:
-|v| approx -3,7417 > 1,7321?
Isso não é verdade, porque -3,7417 não é maior que 1,7321. Portanto, a Afirmação III é falsa.

Resposta

Nenhuma das alternativas é verdadeira.

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