Em vez de definir a temperatura t como função linear de uma certa propriedade X, podemos definí-la como uma função logarítmica da forma t^prime=A log X+B, onde A e B são constantes. Considere t^prime=0^circ no ponto do gelo e t^prime=100^circ no ponto de vapor. Calcule A e B. Considere X o comprimento da coluna líquida de um termômetro de mercúrio e tome como referência Xi=6 cm e ti^prime=0^circ, Xf=36 cm e tf^prime=100^circ. Ache as distâncias (em cm ) entre os pontos t^prime=0^circ e t^prime=10^circ e entre t^prime=90^circ e t^prime=100^circ.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente trabalhar com a escala de temperatura dada por
t' = Alog X + B
onde X é o comprimento da coluna líquida (em cm) e A,B são constantes que vamos determinar usando:
- no ponto de gelo: t'=0^circ quando X=6,cm
- no ponto de vapor: t'=100^circ quando X=36,cm
Depois de achar A e B, queremos calcular a diferença de comprimento entre:
  1. t'=0^circ e t'=10^circ
  2. t'=90^circ e t'=100^circ
Conteúdo usado: resolver sistema linear para A,B, usar propriedades de logaritmo e a noção de função inversa (pra achar X dado t').

Passo 2

Montando o sistema de equações:
  1. Para t'=0 e X=6: 0 = Alog(6) + B
    2) Para t'=100 e X=36:
    100 = Alog(36) + B
Teoria rápida de logaritmo:
  • log(a) - log(b) = log!l(tfracabr).
  • Resolver um sistema do tipo 0 = Alog6 + B 100 = Alog36 + B é só subtrair a primeira da segunda pra eliminar B.
Fazendo isso:
100 - 0 = Al(log36 - log6r) = A,log!l(tfrac366r) = A,log(6)
Então
A = 100log(6)
Em seguida, voltamos na primeira equação pra achar B:
0 = Alog6 + B ;Longrightarrow; B = -Alog6 = -,100log6,log6 = -100

Passo 3

Agora que temos
A = 100log6, B = -100,
vamos achar o X correspondente a t'=10^circ. A gente inverte a função:
t' = Alog X + B ;Longrightarrow; log X = t' - BA
Para t'=10:
log X10 = 10 - (-100)A = 110100/log6 = 1,1,log6
Longrightarrow; X10 = 6^1,1
Como X0=6, a distância entre 0^circ e 10^circ é
De

Passo 4

Mesma ideia para t'=90^circ.
log X90 = 90 - (-100)A = 190100/log6 = 1,9,log6
Longrightarrow; X90 = 6^1,9 approx 30,06 cm
Como em 100^circ temos X100=36,cm, a distância entre 90^circ e 100^circ é
De

Resposta

A = 100log 6,
B = -100.
Distâncias:
  • Entre 0^circ e 10^circ: approx1,18,cm
  • Entre 90^circ e 100^circ: approx5,94,cm

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