Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição:
Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adição:
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos se
, munido da adição usual
e da multiplicação por escalar
é de fato um espaço vetorial sobre
. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, associatividade e comutatividade da soma, e as propriedades envolvendo escalares (identidade, compatibilidade e distributividades).
Passo 2
Verificamos primeiro os axiomas “mais fáceis”, todos envolvendo apenas soma ou compatibilidade que ainda funcionam:
- Fechamento sob soma e sob multiplicação por escalar é imediato, pois soma de vetores em
continua em e também é real. - A soma é associativa e comutativa (é a soma usual em
). - O vetor neutro aditivo é
, pois - O inverso aditivo de
é . - A identidade escalar funciona:
- A compatibilidade de produto de escalares também segura:
- A distributividade de escalar sobre soma de vetores vale:
Passo 3
Agora testamos a distributividade de soma de escalares sobre vetor, que exige
Do lado esquerdo temos
enquanto do lado direito
Como
em geral, essas duas expressões não coincidem (a menos de casos especiais como
).
Resposta
O conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar dada por
não é um espaço vetorial sobre
, pois falha a distributividade de soma de escalares: