Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^3 a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c^2 x1, c^2 y1, c^2 z1), com c in R.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos se R^3, munido da adição usual
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e da multiplicação por escalar
c,(x,y,z)=(c^2x,;c^2y,;c^2z),
é de fato um espaço vetorial sobre R. Para isso, precisamos verificar os axiomas de espaço vetorial: fechamento, existência de neutro e inverso aditivo, associatividade e comutatividade da soma, e as propriedades envolvendo escalares (identidade, compatibilidade e distributividades).

Passo 2

Verificamos primeiro os axiomas “mais fáceis”, todos envolvendo apenas soma ou compatibilidade que ainda funcionam:
  1. Fechamento sob soma e sob multiplicação por escalar é imediato, pois soma de vetores em R^3 continua em R^3 e c^2x também é real.
  2. A soma é associativa e comutativa (é a soma usual em R^3).
  3. O vetor neutro aditivo é (0,0,0), pois (x,y,z)+(0,0,0)=(x,y,z)
  4. O inverso aditivo de (x,y,z) é (-x,-y,-z).
  5. A identidade escalar funciona: 1,(x,y,z)=(1^2x,1^2y,1^2z)=(x,y,z)
  6. A compatibilidade de produto de escalares também segura: cl(d,(x,y,z)r)=c,(d^2x,d^2y,d^2z) =(c^2d^2x,;c^2d^2y,;c^2d^2z) =((cd)^2x,,(cd)^2y,,(cd)^2z) =(cd),(x,y,z)
  7. A distributividade de escalar sobre soma de vetores vale: cl((x,y,z)+(u,v,w)r) =c,(x+u,y+v,z+w) =(c^2(x+u),c^2(y+v),c^2(z+w)) =(c^2x,c^2y,c^2z)+(c^2u,c^2v,c^2w) =c,(x,y,z)+c,(u,v,w)

Passo 3

Agora testamos a distributividade de soma de escalares sobre vetor, que exige
(c+d),(x,y,z)=c,(x,y,z)+d,(x,y,z)
Do lado esquerdo temos
(c+d),(x,y,z)=l((c+d)^2x,,(c+d)^2y,,(c+d)^2zr),
enquanto do lado direito
c,(x,y,z)+d,(x,y,z) =(c^2x,c^2y,c^2z)+(d^2x,d^2y,d^2z) =l((c^2+d^2)x,,(c^2+d^2)y,,(c^2+d^2)zr)
Como (c+d)^2=c^2+2cd+d^2neq c^2+d^2 em geral, essas duas expressões não coincidem (a menos de casos especiais como cd=0).

Resposta

O conjunto R^3 com a adição usual e a multiplicação por escalar dada por c(x,y,z)=(c^2x,c^2y,c^2z) não é um espaço vetorial sobre R, pois falha a distributividade de soma de escalares:
(c+d),(x,y,z)neq c,(x,y,z)+d,(x,y,z)

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