Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em R^3, mostre que o conjunto R^3 a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição: (x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1, z1)=(c x1, y1, z1), com c in R.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto R^3 com a adição usual
(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
e uma multiplicação por escalar não usual
c,(x,y,z)=(c,x,;y,;z)(cinR)
O objetivo é verificar se as dez propriedades de um espaço vetorial sobre R são todas satisfeitas.

Passo 2

Verificação dos axiomas de grupo abeliano sob adição: como a adição é exatamente a usual em R^3, sabemos que
  • ela é fechada, associativa e comutativa;
  • o elemento neutro é (0,0,0);
  • todo (x,y,z) tem inverso aditivo (-x,-y,-z).
Logo, os cinco axiomas referentes apenas à adição estão satisfeitos.

Passo 3

Verificação dos axiomas envolvendo apenas a multiplicação por escalar e a unidade do corpo:
  1. Compatibilidade com o produto de escalares:
cl(d(x,y,z)r) = c,(d x,;y,;z) = l(c,d,x,;y,;zr) = (cd),(x,y,z)
  1. Ação do escalar 1:
1,(x,y,z)=(1cdot x,;y,;z)=(x,y,z)
Ambos os axiomas estão satisfeitos.

Passo 4

Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores:
cl((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)r) = c,(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2) = l(c(x1+x2),;y1+y2,;z1+z2r)
Por outro lado,
c(x1,y1,z1)+c(x2,y2,z2) =(c x1,y1,z1)+(c x2,y2,z2) =(c x1+c x2,;y1+y2,;z1+z2),
e como c(x1+x2)=c x1+c x2, este axioma também é satisfeito.

Passo 5

Verificação da distributividade do escalar sobre soma de escalares (o axioma que pode falhar):
(c+d),(x,y,z)=l((c+d)x,;y,;zr)
Mas
c(x,y,z)+d(x,y,z) =(c x,y,z)+(d x,y,z) =l(c x+d x,;y+y,;z+zr) =l((c+d)x,;2y,;2zr)
Para um vetor genérico com yneq0 ou zneq0,
(c+d)(x,y,z)neq c(x,y,z)+d(x,y,z)
Logo, falha o axioma (c+d)v = cv + dv.

Resposta

O conjunto R^3 com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por
c,(x,y,z)=(c,x,;y,;z)
não satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (especificamente falha a distributividade de escalares sobre soma de escalares). Portanto, não é um espaço vetorial sobre R.

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