Em vez de usar das definiçōes usuais de soma e multiplicação por escalar em
, mostre que o conjunto
a partir das operaçōes definidas abaixo:
Adição:
Multiplicação por um escalar:
, com
.
Adição:
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o conjunto
com a adição usual
e uma multiplicação por escalar não usual
O objetivo é verificar se as dez propriedades de um espaço vetorial sobre
são todas satisfeitas.
Passo 2
Verificação dos axiomas de grupo abeliano sob adição: como a adição é exatamente a usual em
, sabemos que
- ela é fechada, associativa e comutativa;
- o elemento neutro é
; - todo
tem inverso aditivo .
Logo, os cinco axiomas referentes apenas à adição estão satisfeitos.
Passo 3
Verificação dos axiomas envolvendo apenas a multiplicação por escalar e a unidade do corpo:
- Compatibilidade com o produto de escalares:
- Ação do escalar
:
Ambos os axiomas estão satisfeitos.
Passo 4
Verificação da distributividade do escalar sobre soma de vetores:
Por outro lado,
e como
, este axioma também é satisfeito.
Passo 5
Verificação da distributividade do escalar sobre soma de escalares (o axioma que pode falhar):
Mas
Para um vetor genérico com
ou
,
Logo, falha o axioma
.
Resposta
O conjunto
com a adição usual e a multiplicação por escalar definida por
não satisfaz todas as axiomas de espaço vetorial (especificamente falha a distributividade de escalares sobre soma de escalares). Portanto, não é um espaço vetorial sobre
.