Numa via de mão única que termina numa ponte, quer se estudar o tráfego. Encontra-se que esse volume é de 120 veículos/hora, em média. Assume-se que a chegada de veículos constitui um processo de Poisson. Ache a probabilidade de que:
b. Em 3 minutos cheguem mais do que 1 veículo.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos uma via de mão única terminando numa ponte, e em média passam 120 veículos por hora. Supondo que as chegadas formam um processo de Poisson, a pergunta (letra b) é: “Em 3 minutos chegam mais do que 1 veículo. Qual a probabilidade disso?”
Conteúdo: processo de Poisson e sua distribuição.
O que precisamos:
  • Entender o parâmetro do processo (λ) e como ele varia com o tempo.
  • Saber a fórmula da probabilidade de Poisson:
    \displaystyle P(N(t)=k);=;e{-λt},\frac{(λt)k}{k!}

Passo 2

Primeiro, a gente ajusta a taxa para o intervalo de 3 minutos.
  • A taxa dada é λ=120 veículos/hora.
  • 3 minutos = 3/60 horas = 0,05 horas.
    Logo, o valor médio de chegadas em 3 minutos é
    \displaystyle λt ;=;120;\times;0{,}05;=;6.
    Isso significa que, em média, 6 carros chegam nesse período.

Passo 3

Queremos a probabilidade de chegar mais do que 1 veículo em 3 minutos, ou seja
\displaystyle P(N>1);=;1;-;P(N\le1);=;1;-;\bigl[P(N=0)+P(N=1)\bigr].
Agora aplicamos a fórmula de Poisson para k=0 e k=1:
  • P(N=0)=e{-6},\frac{60}{0!}=e^{-6}\cdot1
  • P(N=1)=e{-6},\frac{61}{1!}=e^{-6}\cdot6

Passo 4

Vamos somar P(N=0)+P(N=1):
\displaystyle P(N=0)+P(N=1);=;e{-6},(1+6);=;7,e{-6}.
Então
\displaystyle P(N>1);=;1;-;7,e^{-6}.
Só falta o valor numérico de e^{−6}:
\displaystyle e^{-6}\approx0{,}00247875
Logo
\displaystyle 7,e^{-6}\approx7\times0{,}00247875\approx0{,}0173513
e por fim
\displaystyle P(N>1)\approx1-0{,}0173513\approx0{,}9826487.

Resposta

A probabilidade de, em 3 minutos, chegarem mais de 1 veículo é aproximadamente
\displaystyle \boxed{0{,}98265(ou98{,}27%).}

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