6- As vibrações de um diapasão de 622 Hz formam ondas estacionárias em uma corda presa nas duas extremidades: a velocidade da onda nessa corda é 388 m / s. A onda estacionária tem 4 ventres e amplitude de 1,9 mm. A) Qual o comprimento da corda? B) Escreva a equação para o deslocamento da corda. R: 1,25 m; X = 3,8 x 1 0 - 3 s e n ( 1 0 , 1 x ) cos (3910 t)

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre vibrações de um diapasão que têm frequência de 622 Hz e formam ondas estacionárias numa corda que está presa nas duas extremidades. A velocidade da onda nessa corda é de 388 metros por segundo. A onda estacionária possui 4 ventres (pontos onde a corda está mais afastada da posição de equilíbrio) e uma amplitude de 1,9 milímetros. Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, frequência, velocidade da onda e comprimento da corda para resolver as partes A e B da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte A: encontrar o comprimento da corda. Nas ondas estacionárias, o comprimento da corda está relacionado ao comprimento de onda e aos ventres presentes na onda. Sabemos que o número de ventres (n) está relacionado com o comprimento da corda por:
L = n lambda2
Onde:
  • L é o comprimento da corda,
  • n é o número de ventres,
  • lambda é o comprimento de onda.
Aqui, temos 4 ventres, então n = 4 .

Passo 3

Para encontrar o comprimento de onda lambda , usamos a relação entre a velocidade da onda v , a frequência f e o comprimento de onda:
v = f lambda
Rearranjando para encontrar lambda :
lambda = vf
Substituindo os valores dados:
lambda = 388, m/s622, Hz approx 0,624, m

Passo 4

Agora que temos lambda , podemos encontrar o comprimento da corda L :
L = n lambda2 = 4 times 0,624, m2 = 2,496, m2 = 1,248, m
Arredondando, temos L approx 1,25, m .

Passo 5

Agora, vamos para a parte B: escrever a equação para o deslocamento da corda. A equação geral de uma onda estacionária numa corda fixa nas duas extremidades é dada por:
X(x, t) = A sin(kx) cos(omega t)
Onde:
  • X(x, t) é o deslocamento na posição x e tempo t ,
  • A é a amplitude da onda,
  • k é o número de onda,
  • omega é a frequência angular.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar o número de onda k . Ele está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
k = 2pilambda
Usando lambda approx 0,624, m :
k = 2pi0,624 approx 10,07, rad/m
Arredondando, k approx 10, rad/m .

Passo 7

Agora, encontramos a frequência angular omega , que está relacionada à frequência f :
omega = 2pi f
Com f = 622, Hz :
omega = 2pi times 622 approx 3910, rad/s

Passo 8

A amplitude A é dada como 1,9 mm, que precisamos converter para metros:
A = 1,9, mm = 1,9 times 10^-3, m

Passo 9

Finalmente, substituímos todos os valores na equação da onda estacionária:
X(x, t) = 1,9 times 10^-3, m times sin(10, x) cos(3910, t)

Resposta

A) O comprimento da corda é aproximadamente 1,25 metros.
B) A equação para o deslocamento da corda é:
X(x, t) = 3,8 times 10^-3, sin(10, x), cos(3910, t)

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