6- As vibrações de um diapasão de 622 Hz formam ondas estacionárias em uma corda presa nas duas extremidades: a velocidade da onda nessa corda é
. A onda estacionária tem 4 ventres e amplitude de
. A) Qual o comprimento da corda? B) Escreva a equação para o deslocamento da corda. R: 1,25 m; X = 3,8
(
) cos (3910 t)
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre vibrações de um diapasão que têm frequência de 622 Hz e formam ondas estacionárias numa corda que está presa nas duas extremidades. A velocidade da onda nessa corda é de 388 metros por segundo. A onda estacionária possui 4 ventres (pontos onde a corda está mais afastada da posição de equilíbrio) e uma amplitude de 1,9 milímetros. Vamos precisar usar conceitos de ondas estacionárias, frequência, velocidade da onda e comprimento da corda para resolver as partes A e B da questão.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte A: encontrar o comprimento da corda. Nas ondas estacionárias, o comprimento da corda está relacionado ao comprimento de onda e aos ventres presentes na onda. Sabemos que o número de ventres (n) está relacionado com o comprimento da corda por:
Onde:
-
é o comprimento da corda, -
é o número de ventres, -
é o comprimento de onda.
Aqui, temos 4 ventres, então
.
Passo 3
Para encontrar o comprimento de onda
, usamos a relação entre a velocidade da onda
, a frequência
e o comprimento de onda:
Rearranjando para encontrar
:
Substituindo os valores dados:
Passo 4
Agora que temos
, podemos encontrar o comprimento da corda
:
Arredondando, temos
.
Passo 5
Agora, vamos para a parte B: escrever a equação para o deslocamento da corda. A equação geral de uma onda estacionária numa corda fixa nas duas extremidades é dada por:
Onde:
-
é o deslocamento na posição e tempo , -
é a amplitude da onda, -
é o número de onda, -
é a frequência angular.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar o número de onda
. Ele está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
Usando
:
Arredondando,
.
Passo 7
Agora, encontramos a frequência angular
, que está relacionada à frequência
:
Com
:
Passo 8
A amplitude
é dada como 1,9 mm, que precisamos converter para metros:
Passo 9
Finalmente, substituímos todos os valores na equação da onda estacionária:
Resposta
A) O comprimento da corda é aproximadamente 1,25 metros.
B) A equação para o deslocamento da corda é:
B) A equação para o deslocamento da corda é: