A vida média de baterias automotivas de uma certa marca está sendo estudada. Baseado em estudos similares, com outras marcas, é possível admitir que a vida dessas baterias segue a distribuição Normal com desvio padrão de 4,5 meses. De qual tamanho deverá ser a amostra, para que a amplitude do intervalo de 90 \% de confiança para a vida média seja de 3 meses?

Passo 1

O enunciado estuda a vida média de baterias automotivas de uma marca, assumindo que essa vida segue distribuição Normal com desvio padrão conhecido \sigma = 4,5 meses. Queremos construir um intervalo de confiança de 90\% para a média de vida de modo que a amplitude total desse intervalo seja de 3 meses. O conteúdo envolvido é inferência para a média com desvio padrão populacional conhecido.

Passo 2

A amplitude total do intervalo de confiança é
2E = 3,
onde E é a margem de erro (meia-amplitude). Logo
E = \frac{3}{2} = 1{,}5\text{ meses}.

Passo 3

Como queremos 90\% de confiança, o nível de significância é \alpha = 0{,}10 e o valor crítico da Normal padrão é
z_{\alpha/2} = z_{0,05} \approx 1{,}645.

Passo 4

Para distribuição Normal com \sigma conhecido, a margem de erro satisfaz
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Logo, isolando n, temos
n = \Bigl(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
n = \Bigl(\frac{1{,}645 \times 4{,}5}{1{,}5}\Bigr)^{2} = \bigl(1{,}645 \times 3\bigr)^{2} = (4{,}935)^{2} \approx 24{,}35.

Passo 6

Como o tamanho de amostra n deve ser inteiro e não podemos usar fração de observação, arredondamos para cima:
n = 25.

Resposta

25

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