Vimos que a integral da funcão velocidade resulta no deslocamento de uma partícula. Assim dada uma função velocidade
v(t)=96 tan ^wed>= 5(t) sec wed>= 4(t) em m / s, Qual o deslocamento do primeiros pi / 4 segundos do movimento

Passo 1

Estamos com um problema de cálculo onde precisamos encontrar o deslocamento de uma partícula nos primeiros pi / 4 segundos. A função velocidade dada é v(t) = 96 tan^5(t) sec^4(t). Para resolver isso, vamos usar a integral da função velocidade em relação ao tempo.

Passo 2

O deslocamento ( S) é obtido pela integral definida da velocidade de 0 a pi/4:
S = integral0^pi/4 96 tan^5(t) sec^4(t) , dt

Passo 3

Vamos simplificar a integral usando identidades trigonométricas. Sabemos que sec^2(t) = 1 + tan^2(t), então podemos escrever sec^4(t) = (sec^2(t))^2 = (1 + tan^2(t))^2.

Passo 4

Substituindo sec^4(t) na integral:
S = 96 integral0^pi/4 tan^5(t) (1 + tan^2(t))^2 , dt

Passo 5

Fazemos a substituição u = tan(t). A derivada de u em relação a t é du = sec^2(t) dt, ou seja, dt = dusec^2(t). Como sec^2(t) = 1 + u^2, podemos substituir na integral.

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de u:
S = 96 integral0^1 u^5 (1 + u^2)^2 cdot 11 + u^2 , du = 96 integral0^1 u^5 (1 + u^2) , du

Passo 7

Expandimos a expressão dentro da integral:
u^5 (1 + u^2) = u^5 + u^7
Portanto,
S = 96 integral0^1 (u^5 + u^7) du

Passo 8

Calculamos as integrais separadamente:
integral u^5 du = u^66
integral u^7 du = u^88
Assim,
S = 96 [ u^66 + u^88 ]0^1

Passo 9

Aplicando os limites de integração:
Para u = 1:
1^66 + 1^88 = 16 + 18 = 424 + 324 = 724
Para u = 0:
Ambos os termos são 0.
Então,
S = 96 times 724 = 28 metros

Resposta

O deslocamento nos primeiros pi / 4 segundos é de 28 metros.

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