Vimos que uma matriz
é simétrica se
e dizemos que a matriz
é anti-simétrica se
(a) Mostre que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero;
(b) Mostre que se
e
são simétricas, então
e
são simétricas, para todo escalar
(c) Mostre que se
e
são simétricas, então
é simétrica, se e somente se,
(d) Mostre que se
e
são anti-simétricas, então
e
são anti-simétricas, para todo escalar
(e) Mostre que para toda matriz
, a matriz
é simétrica e a matriz
é antisimétrica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
(a) Mostre que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero;
(b) Mostre que se
(c) Mostre que se
(d) Mostre que se
(e) Mostre que para toda matriz
(f) Mostre que toda matriz quadrada
Passo 1
O enunciado pede para explorarmos propriedades de matrizes simétricas (definidas por
) e anti-simétricas (definidas por
). Para resolver usamos as regras de transposição:
Passo 2
(a) Seja
anti-simétrica, ou seja,
. Olhando o elemento da diagonal
–ésima, temos
Logo
, e em corpos de característica não-2 segue
.
Passo 3
(b) Se
e
são simétricas, então
e
. Usando linearidade da transposta,
Portanto
e
são simétricas.
Passo 4
(c) Suponha
e
simétricas. Então
Logo
é simétrica (
) se, e somente se,
.
Passo 5
(d) Se
e
são anti-simétricas,
e
. Então
Assim
e
são anti-simétricas.
Passo 6
(e) Para matriz arbitrária
definimos
Então
Logo
é simétrica e
é anti-simétrica.
Passo 7
(f) A escrita de
como soma de uma parte simétrica e uma parte anti-simétrica fica evidente ao colocar
onde
é simétrica e
é anti-simétrica.
Resposta
(a) Em matriz anti-simétrica
.
(b) e
.
(c) , logo
simétrica
.
(d) e
.
(e) simétrica;
anti-simétrica.
(f)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
decompondo
em parte simétrica e anti-simétrica.