Vimos que uma matriz An times n é simétrica se A^T=A e dizemos que a matriz An times n é anti-simétrica se A^T=-A
(a) Mostre que os elementos da diagonal principal de uma matriz anti-simétrica são iguais a zero;
(b) Mostre que se A e B são simétricas, então A+B e k cdot A são simétricas, para todo escalar k
(c) Mostre que se A e B são simétricas, então A B é simétrica, se e somente se, A B=B A
(d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então A+B e k cdot A são anti-simétricas, para todo escalar k
(e) Mostre que para toda matriz An times n, a matriz A+A^T é simétrica e a matriz A-A^T é antisimétrica.
(f) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para explorarmos propriedades de matrizes simétricas (definidas por ,A^T=A) e anti-simétricas (definidas por ,A^T=-A). Para resolver usamos as regras de transposição:
(M+N)^T=M^T+N^T,
(kM)^T=k,M^T,
(MN)^T=N^TM^T

Passo 2

(a) Seja A anti-simétrica, ou seja, A^T=-A. Olhando o elemento da diagonal i–ésima, temos
aii=(A)ii=(A^T)ii=-aii
Logo ,aii=-aiiRightarrow 2,aii=0, e em corpos de característica não-2 segue aii=0.

Passo 3

(b) Se A e B são simétricas, então A^T=A e B^T=B. Usando linearidade da transposta,
(A+B)^T=A^T+B^T=A+B,
(kA)^T=k,A^T=kA
Portanto A+B e kA são simétricas.

Passo 4

(c) Suponha A e B simétricas. Então
(AB)^T=B^TA^T=BA
Logo AB é simétrica ( (AB)^T=AB) se, e somente se, BA=AB.

Passo 5

(d) Se A e B são anti-simétricas, A^T=-A e B^T=-B. Então
(A+B)^T=A^T+B^T=-A -B=-(A+B),
(kA)^T=k,A^T=-kA=-(kA)
Assim A+B e kA são anti-simétricas.

Passo 6

(e) Para matriz arbitrária A definimos
S = A + A^T, K = A - A^T
Então
S^T = (A+A^T)^T=A^T+A=S,
K^T = (A-A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T)=-K
Logo A+A^T é simétrica e A-A^T é anti-simétrica.

Passo 7

(f) A escrita de A como soma de uma parte simétrica e uma parte anti-simétrica fica evidente ao colocar
A=12,(A+A^T)+12,(A-A^T),
onde 12(A+A^T) é simétrica e 12(A-A^T) é anti-simétrica.

Resposta

(a) Em matriz anti-simétrica aii=-aiiRightarrow aii=0.
(b) (A+B)^T=A+B e (kA)^T=kA.
(c) (AB)^T=BA, logo AB simétrica iff AB=BA.
(d) (A+B)^T=-(A+B) e (kA)^T=-(kA).
(e) A+A^T simétrica; A-A^T anti-simétrica.
(f)
A=tfrac12(A+A^T)+tfrac12(A-A^T),
decompondo A em parte simétrica e anti-simétrica.

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