Vinte funcionários de uma empresa se disponibilizaram para ocupar as vagas de presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro do sindicato da categoria. De quantas maneiras diferentes essa chapa pode ser formada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre 20 funcionários que querem ocupar 4 cargos diferentes no sindicato: presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro. A matéria que vamos usar aqui é Princípio Fundamental da Contagem e Permutação, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras diferentes podemos organizar essas pessoas nos cargos disponíveis.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que cada cargo é único, ou seja, o presidente não pode ser vice-presidente ao mesmo tempo, e assim por diante. Isso significa que a ordem importa, então vamos usar permutação.

Passo 3

A fórmula da permutação para selecionar $ k $ elementos de um conjunto de $ n $ é:
k
Onde:
  • $ n! $ é o fatorial de $ n $ (produto de todos os números de 1 até $ n $),
  • $ k $ é o número de posições que queremos preencher.

Passo 4

No nosso caso, $ n = 20 $ funcionários e $ k = 4 $ cargos. Então, vamos substituir na fórmula:
n = 20

Passo 5

Agora, para simplificar, sabemos que $ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16! $. Assim, podemos cancelar o $ 16! $ no numerador e no denominador:
20! = 20 times 19 times 18 times 17 times 16!

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
20 times 19 = 380
380 times 18 = 6.840
6.840 times 17 = 116.280

Resposta

Temos 116.280 maneiras diferentes de formar essa chapa!

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