Vinte funcionários de uma empresa se disponibilizaram para ocupar as vagas de presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro do sindicato da categoria. De quantas maneiras diferentes essa chapa pode ser formada?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado fala sobre 20 funcionários que querem ocupar 4 cargos diferentes no sindicato: presidente, vice-presidente, secretário e tesoureiro. A matéria que vamos usar aqui é Princípio Fundamental da Contagem e Permutação, que nos ajuda a calcular de quantas maneiras diferentes podemos organizar essas pessoas nos cargos disponíveis.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que cada cargo é único, ou seja, o presidente não pode ser vice-presidente ao mesmo tempo, e assim por diante. Isso significa que a ordem importa, então vamos usar permutação.
Passo 3
A fórmula da permutação para selecionar $ k $ elementos de um conjunto de $ n $ é:
Onde:
- $ n! $ é o fatorial de $ n $ (produto de todos os números de 1 até $ n $),
- $ k $ é o número de posições que queremos preencher.
Passo 4
No nosso caso, $ n = 20 $ funcionários e $ k = 4 $ cargos. Então, vamos substituir na fórmula:
Passo 5
Agora, para simplificar, sabemos que $ 20! = 20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16! $. Assim, podemos cancelar o $ 16! $ no numerador e no denominador:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
Resposta
Temos 116.280 maneiras diferentes de formar essa chapa!