Você deseja monitorar a quantidade de sódio em certa marca de cereal. Na amostra com 25 porções de cereal, foi observado que a quantidade média de sódio é de 245 mg , por porção. Sabe-se, de estudos anteriores, que o desvio padrão populacional é de 10 mg . Com nível de significância de
, formule e teste um conjunto apropriado de hipóteses, conforme roteiro a seguir, para verificar se a quantidade média de sódio, por porção de cereal, é maior que 230 mg .
a) Identifique as hipóteses do teste. (
e
)
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c)
d)
a) Identifique as hipóteses do teste. (
b) Especifique o nível de significância.
c) Obtenha o valor crítico e esboce a região crítica.
d) Calcule a estatística do teste.
e) Decisão.
f) Interprete a decisão no contexto do exercício.
Resposta: c)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente quer verificar se a quantidade média de sódio em uma marca de cereal é maior que 230 mg por porção. Para isso, vamos usar Teste de Hipóteses, que é uma ferramenta estatística para tomar decisões sobre parâmetros populacionais com base em amostras.
No nosso caso, vamos precisar usar a fórmula do teste Z, já que conhecemos o desvio padrão da população. Vamos seguir os passos para formular e testar as hipóteses.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as hipóteses que vamos testar. Em testes de hipóteses, temos duas hipóteses principais:
-
Hipótese Nula (H₀): É a afirmação que estamos testando, geralmente representando a ausência de efeito ou diferença. No nosso caso, seria que a quantidade média de sódio não é maior que 230 mg.
-
Hipótese Alternativa (H₁): É o que queremos provar, indicando a presença de um efeito ou diferença. Aqui, queremos provar que a média de sódio é maior que 230 mg.
Passo 3
Vamos escrever as hipóteses matematicamente:
- H₀: μ ≤ 230 mg
- H₁: μ > 230 mg
Aqui, μ representa a média de sódio por porção na população.
Passo 4
Agora, vamos especificar o nível de significância. O nível de significância é a probabilidade de rejeitarmos a hipótese nula quando ela é verdadeira. No enunciado, foi dado um nível de significância de 1% ou 0,01.
Passo 5
Com o nível de significância definido, vamos obter o valor crítico. O valor crítico é o ponto de corte que determina a região crítica, ou seja, onde rejeitamos a hipótese nula. Como nossa hipótese alternativa é μ > 230 mg, estamos realizando um teste unilateral à direita.
Usando uma tabela Z ou calculadora estatística, encontramos que o valor crítico para um nível de significância de 1% em um teste unilateral é:
Então, nossa região crítica é qualquer valor de Z maior que 2,33.
Passo 6
Agora, vamos calcular a estatística do teste (Z calculado). A fórmula para o teste Z é:
Onde:
-
é a média amostral (245 mg) -
é a média sob H₀ (230 mg) -
é o desvio padrão populacional (10 mg) -
é o tamanho da amostra (25 porções)
Substituindo os valores:
Passo 7
Com o valor crítico e o Z calculado em mãos, vamos tomar a decisão. Se o Z calculado for maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula.
Aqui, temos:
Então, rejeitamos H₀.
Passo 8
Por fim, vamos interpretar a decisão no contexto do exercício. Ao rejeitarmos a hipótese nula, concluímos que há evidências suficientes para afirmar, com 99% de confiança, que a quantidade média de sódio por porção de cereal desta marca é maior que 230 mg.
Resposta
c)
d)
d)