Você está programando um robô para fazer cestas em um aro que está regulado a 3 metros de altura. Em sua programação inicial, você ajustou o robô para fornecer uma velocidade inicial de 15 m / s com um ângulo de 37^circ. Qual deve ser a distância do robô até a cesta para que ele consiga acertar a cesta com essas configurações?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um robô que está tentando fazer uma cesta em um aro a 3 metros de altura. Ele lança a bola com uma velocidade inicial de e um ângulo de . Nosso objetivo é descobrir a distância horizontal que o robô deve estar do aro para que a bola atinja exatamente essa altura. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetil da física, que nos ajuda a entender como objetos se movem quando lançados no ar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como o movimento da bola se divide em duas componentes: horizontal e vertical. A velocidade inicial v0x = v0 cdot cos(theta) de v0y = v0 cdot sin(theta) tem uma parte que vai para frente (horizontal) e outra que vai para cima (vertical). Para encontrar essas componentes, usamos as seguintes fórmulas:
Onde:
  • é a componente horizontal da velocidade.
  • é a componente vertical da velocidade.
  • é o ângulo de lançamento ( ).

Passo 3

Vamos calcular as componentes da velocidade:
v0x = 15 cdot cos(37^circ) approx 15 cdot 0,7986 approx 11,98 , m/s
v0y = 15 cdot sin(37^circ) approx 15 cdot 0,6018 approx 9,03 , m/s

Passo 4

Agora, vamos focar na direção vertical. Sabemos que a altura máxima que a bola alcança pode ser calculada usando a fórmula:
h = v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • 3 = 9,03t - 12 cdot 9,8 cdot t^2 é a altura (3 metros).
  • 0 = 12 cdot 9,8 cdot t^2 - 9,03t + 3 é a aceleração da gravidade ( 0 = 4,9t^2 - 9,03t + 3 ).
  • é o tempo que a bola leva para atingir a altura .
Vamos rearranjar a fórmula para resolver para :

Passo 5

Essa é uma equação do segundo grau na forma t = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Podemos resolver para De usando a fórmula de Bhaskara:
t = 9,03 pm raiz22,749,8
Onde:
  • t = 9,03 pm 4,779,8
  • t1 = 9,03 + 4,779,8 approx 13,89,8 approx 1,41 , s
  • t2 = 9,03 - 4,779,8 approx 4,269,8 approx 0,44 , s
Vamos calcular o discriminante ( ) primeiro:
Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:
Obtemos dois valores para :

Passo 6

Como queremos o tempo que a bola leva para alcançar a altura de 3 metros, vamos considerar o valor menor ( ), que é o tempo em que a bola está subindo e passa por 3 metros.

Passo 7

Agora que temos o tempo, podemos calcular a distância horizontal usando a componente da velocidade horizontal d = v0x cdot t :
d = 11,98 , m/s cdot 0,44 , s approx 5,27 , metros

Resposta

O robô deve estar a aproximadamente 5,27 metros de distância da cesta para acertar com as configurações fornecidas.

Exercícios relacionados