Você está programando um robô para fazer cestas em um aro que está regulado a 3 metros de altura. Em sua programação inicial, você ajustou o robô para fornecer uma velocidade inicial de
com um ângulo de
. Qual deve ser a distância do robô até a cesta para que ele consiga acertar a cesta com essas configurações?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A situação envolve um robô que está tentando fazer uma cesta em um aro a 3 metros de altura. Ele lança a bola com uma velocidade inicial de
e um ângulo de
. Nosso objetivo é descobrir a distância horizontal que o robô deve estar do aro para que a bola atinja exatamente essa altura. Para isso, vamos usar conceitos de movimento projetil da física, que nos ajuda a entender como objetos se movem quando lançados no ar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como o movimento da bola se divide em duas componentes: horizontal e vertical. A velocidade inicial
de
tem uma parte que vai para frente (horizontal) e outra que vai para cima (vertical). Para encontrar essas componentes, usamos as seguintes fórmulas:
Onde:
-
é a componente horizontal da velocidade. -
é a componente vertical da velocidade. -
é o ângulo de lançamento ( ).
Passo 3
Vamos calcular as componentes da velocidade:
Passo 4
Agora, vamos focar na direção vertical. Sabemos que a altura máxima que a bola alcança pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
é a altura (3 metros). -
é a aceleração da gravidade ( ). -
é o tempo que a bola leva para atingir a altura .
Vamos rearranjar a fórmula para resolver para
:
Passo 5
Essa é uma equação do segundo grau na forma
. Podemos resolver para
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde:
Vamos calcular o discriminante (
) primeiro:
Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara:
Obtemos dois valores para
:
Passo 6
Como queremos o tempo que a bola leva para alcançar a altura de 3 metros, vamos considerar o valor menor (
), que é o tempo em que a bola está subindo e passa por 3 metros.
Passo 7
Agora que temos o tempo, podemos calcular a distância horizontal usando a componente da velocidade horizontal
:
Resposta
O robô deve estar a aproximadamente 5,27 metros de distância da cesta para acertar com as configurações fornecidas.